以数形结合促学生发展

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华罗庚先生曾作一首著名的小诗描述数形结合思想：数形本是相倚依，怎能分作两边飞;数缺形时少直觉，形少数时难入微;数形结合百般好，隔离分家万事休;几何代数统一体，永远联系莫分离。这首诗向我们深刻地描绘了数形之间的和谐。

数、形是数学中两大基本概念之一，可以说全部数学大体上都是围绕这两个基本概念的提炼、演变、发展而展开的。“数”和“形”是紧密联系的。我们在研究“数”的时候，往往要借助于“形”，在探讨“形”的性质时，又往往离不开“数”。“数形结合”的思维方法，便是理论与实际的有机联系，是思维的起点，是儿童建构数学模型的基本方法。

一、由数及形，以形助数

美国著名数学家斯蒂恩说过：“如果一个特定的问题可以转化为图形，那么，思想就整体把握了问题，并且能创造性地思索问题的解法。”对于表面上属于代数类的问题，充分利用“形”把其中数量关系的几何特征形象地表示出来，通过对图形的处理，发挥直观对抽象的支柱作用，实现抽象概念与具体形象、表象的联系和转化，化抽象为直观，以形助数，使问题获解。

例如：在进行三年级“加减乘除整理”教学时，老师问学生：加数相同时可用乘法计算，不同的加数相加时可以用乘法计算吗？比如2+4+6=？

老师适时出示如下左图，学生经过思考讨论，认为可以将图中的小方块进行“移多补少”，将最下面的6个方块中移2个给上面，这样每排都是4个小方块，即右图，可以看出是“3个4”，能用4×3=12这样的乘法算式进行计算。

在这里，图形起到了关键性的作用，将抽象的“数”转化成直观的“形”，学生通过对“形”的充分观察思考，能很轻松愉悦地理解不同加数相加（有特定要求）转化为乘法的算理。在这里，学生不仅感悟了数形结合思想的魅力，还感悟了转化的思想、移多补少的方法等。

二、由形及数，以数解形

用数形结合策略表示题中量与量之间的关系，可以达到化繁为简、化难为易的目的。“数形结合”可以借助简单的图形、符号和文字所作的示意图，促进学生形象思维和抽象思维的协调发展，沟通数学知识之间的联系，从复杂的数量关系中凸显最本质的特征。它是小学数学教材的一个重要特点，更是解决问题时常用的方法。

例如：原苏教版小学数学三年级上册第45页思考题：

妈妈的年龄是小芳的4倍，妈妈比小芳大27岁，妈妈和小芳各多少岁？

这种题对于三年级学生来说，往往较难解决，但如果老师能够充分重视引导学生在读懂题目的基础上，画出线段图，则大部分学生都能够很顺利地解决。

从线段图中，我们可以形象地看出，小芳的年龄用1份线段表示，妈妈的年龄就可以用这样的4份表示，妈妈比小芳大的27岁则是这样的3份，由此可以引导学生求出1份线段表示的年龄是：27÷3=9（岁），即小芳的年龄是9岁，妈妈的年龄则是：9×4=36（岁）。

运用数形结合使数量之间的内在联系变得比较直观，成为解决问题的有效方法之一。在分析问题的过程中，注意把数和形结合起来考察，根据问题的具体情形，把图形的问题转化为数量关系的问题，或者把数量关系的问题转化为图形的问题，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，化难为易。能调动学生主动积极参与学习，能提高学生的思维能力。

三、数形结合，提升思维

儿童的认识规律，一般来说是从直接感知到表象，再到形成科学概念的过程。表象介于感知和形成科学概念之间，抓住这中间环节，在几何初步知识教学中，发展学生的空间观念，培养初步的逻辑思维能力，具有十分重要意义。

例如：原苏教版小学数学六年级上册第15页例4：

做一个长6厘米、宽5厘米、高4厘米的长方体纸盒，至少要用多少平方厘米硬纸板？（图略）

教师引导学生借助图形直观分析，要求“至少要用多少平方厘米的硬纸板”就是求该长方体的表面积，也就是求6个面的面积总和。从而引导学生得出：分别求出3组相对的面的面积，再相加，列式：

6×5×2+6×4×2+4×5×2

也有学生提出：六个面可以分为2组，先分别求出每组中一个面的面积，相加后再乘2，列式：

（6×5+6×4+4×5）×2

这时，老师引导学生观察：这两种解法在算理上有什么联系？经过讨论，一致认为这两个算式可以用乘法分配律进行解释，从而进一步增强了“形”与“数”“数”与“数”之间的内在联系。在此基础上，抽象出求长方体表面积的数量关系模型：长方体的表面积=长×宽×2+长×高×2+宽×高×2或（长×宽+长×高+宽×高）×2。使图形问题的解决更加简捷。

数形结合，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形联系起来，使抽象思维和形象思维结合起来，通过对图形的处理，发挥直观对抽象的支柱作用，揭示数和形之间的内在联系，实现抽象概念和具体形象、表象之间的转化，发展学生的思维。

在小学阶段，教师如果能从每个细节入手，千方百计地让数形结合思想在课堂教学中有效渗透，使学生从小打好基础，形成自觉意识，这对学生将来进入更高的学习会有很大的帮助，也是学生终往受益的宝贵财富。