浅谈差比数列求和问题的几种解决方法

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形如 ，其中cn=an.bn为等差数列， bn为等比数列，这样的数列我们一般称为差比数列。差比数列求和问题是高考的热点问题，我选取2010年高考辽宁卷理科17题作为例题，进行分析。

一、原题展示

已知等差数列{an}满足a2=0，a6+a8= -10

（I）求数列{an}的通项公式;

（II ）求数列

的前n项和。

二、试题背景及试题分析

数列是高中数学的重要内容之一，其中数列的求和是重点，也是难点，在历年的高考中都占有较重要的地位。

高考主要考查数列通项公式及前n项和公式等基本公式和性质的灵活应用，考查学生灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力，对考生能力的要求比较高。考题一般属于中、高难度的题目。

本试题考查的内容是求数列通项公式及求数列和，难度中等，涉及到的主要知识点有等差数列的通项公式和差比数列的求和，这些知识点属于掌握层次。

三、解题过程

（I）解题过程略，易得an=2-n。

（II）方法一：错位相减法

解：设数列

的前n项和为 ，即

sn=a1++...+……①

从而

=++...+ ……②

当n>1时，①-②得：

=a1++...+-

= 1-（++...+）-

所以

综上，数列

的前n项和sn=

解题思路说明及反思：错位相减法是数列求和的一种常用方法，应用于求差比数列和。形如数列cn （其中 cn=an.bn）， an为等差数列， bn为等比数列。具体求法是：列出sn=a1+a2+a3+...+an，再把等式两端同时乘或除以等比数列的公比，然后错一位，两式相减，再利用等比数列求和公式即可求解。本解法的优点是思路清晰，方法较易掌握;缺点是计算量一般较大，如果学生在细节处没有处理好容易出现错误，在讲解时要特别强调细节。

方法二：裂项相消法

解：令 an=2-n=2（Cn+D）=[C（n+1）+D]

可得C=-1，D=3

则bn==-

sn= b1+b2+b3+...+bn

=0-（-1）+（-1）-（-）+（-）-（-）+（-）-（-）+...+-=

综上，数列

的前n项和sn=

解题思路说明及反思：裂项相消法也是数列求和的常用方法，但一般我们用来处理类似an=或an=等类型问题。其实，差比数列的前n项和问题也可利用裂项相消法来解决。只需将差比数列cn （其中cn=（An+B）・qn-1）中的等差部分 an=An+B 构造成 （Cn+D）-[C（n+1）+D]（其中q为等比数列bn的公比C=， D=（B+C） ，C和D的值也可由待定系数法求出），再列出 sn=c1+c2+...+cn，将cn 裂成 即可消去中间各项，并计算出结果。本解法的优点是计算量小，准确率高;缺点是做法思路较难想到，需经过训练才能掌握。

方法三：导数法

解：由（I）得bn=（2-n）・（）n-1=（）n-2-n・（）n-1

sn=[2+1++...+（）n-2]-[1+2・+3・2+...+n・（）n-1]

设Tn=[1+2・+3・（）2+...+n・（）n-1]

令=x

则Tn=[1+2・x+3・x2+...+n・xn-1]

Tn=（x+x2+x3+...+xn）'=[]'=

将x换为

Tn=

Sn=4[1-（）n]-=

综上，数列

的前n项和Sn=

解题思路说明及反思：数列是特殊的函数，因而数列问题可以利用解决函数问题的思路和方法解决，但是由于数列作为特殊函数，其定义域有一定的特殊性，因而在解决数列问题（特别是数列最值问题）时，导数法或其他解决函数问题的方法在运用时要特别谨慎。本题所用到的导数法较为特殊，所有差比数列的求和问题都可以化为 1+2・x+3x2+...+n・xn-1（x为等比数列bn的公比）与其他式子的和、差、积的形式。所以，我们由 1+2・x+3x2+...+n・xn-1可联想到其为 （x+x2+x3+...+xn）'，只需计算出

'，再将x换为等比数列bn的公比即可。本解法的优点是计算量小，思路巧妙;缺点是方法较为特殊，不易推广解决其他数列问题。

以上三种方法都是解决差比数列求和问题的通用方法，教师在给学生讲解时可以引导学生进行一题多解，并进行分组讨论练习，让学生自己感受不同解法的优缺点，通过比较，再结合自己学习的特点选择适合自己的解法。