浅谈压缩感知方法及其在雷达领域的应用
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摘要： 传统信号处理的采样率必须满足香农定理。随着携带信息量和系统分辨率的提高，系统带宽不断增大，这对系统传输和存储等带来巨大压力。压缩感知理论利用信号内在的稀疏性，以低于奈奎斯特采样率对其进行采样，显著降低信号处理的成本。文章介绍了压缩感知方法的基本理论和几类典型稀疏重构方法，并通过仿真实验分析了它们的性能。最后结合几个典型实例，概述了采用压缩感知方法解决雷达信号处理领域某些特定工程问题的优势。
Abstract： Conventional signal processing approaches must follow Shannon's celebrated theorem. As the promotion of information and resolution， the band of system will also increase. The transmission and storage of system is greatly challenged. While compressive sensing theory can sample signal at the rate below Nyquist Sampling frequency to lessen the system cost in signal processing. This paper introduces the basic theory of compressive sensing and several typical sparse recovery methods. The performance of different methods was illustrated through simulation. Via several typical applications in radar， we showed the advantage in dealing with some special radar problem with compressive sensing.
关键词： 压缩感知；ISAR成像；DOA估计；雷达应用
Key words： compression sensing；ISAR imaging；DOA estimation；radar application
中图分类号：F273.4 文献标识码：A 文章编号：1006-4311（2017）18-0243-03
0 引言
传统信号处理必须遵循香农采样定理（采样率不小于信号最高频率的两倍，即奈奎斯特采样定理）。随着信息量的增加和系统分辨率的提高，系统带宽也不断提高，这给系统传输和存储等带来巨大压力。压缩感知理论（CS，Compressed Sensing）[1]于2006年被Donoho等人正式提出。即当目标信息在某些特征域内稀疏分布时，以低于奈奎斯特采样率对其进行采样，可重构出原始信号，降低信号处理成本。CS理论通过“测量矩阵”与 “压缩采样”对高维信号进行降维采样，将信号稀疏重构问题转化为约束优化问题，这有着非常重要的工程意义。
目前典型的稀疏重构方法有三类：基于最化理论的范数求解[2]，基于贪婪思想[3]，基于统计理论[4]。其中贪婪类算法运算速度最快，其他方法重构精度更高。在雷达信号处理领域，利用部分孔径/稀疏孔径数据对原始数据进行恢复，大大简化了雷达接收机的硬件设计和存储资源。在ISAR成像和波达方向估计领域，利用压缩感知模型在降采样条件下可提高成像分辨率和DOA估计精度，对存在稀疏先验的目标信号，利用稀疏重构实现超分辨。
1 压缩感知理论模型及其重构原理
1.1 压缩感知理论模型
对于稀疏信号，x可由K（K
y=Φx=ΦΨs=s（3）
其中=ΦΨ为测量矩阵（也称感知矩阵）。对数据的降维操作可以在接收信号之后，也可以在系统采集过程中。
利用公式求解稀疏向量s是一个线性规划问题，由于M
1.2 稀疏重构的原理
针对上述问题，实现稳健精确重构的充分条件是：矩阵必须满足约束等距条件RIP（Restricted Isometry Property）。（K，δ）-RIP条件是指矩阵的所有M×K维子矩阵具有等距特性，也可以理解为中所有M×K维子矩阵的各列近似正交。已验证的测量矩阵包括高斯矩阵、伯努利矩阵、局部傅里叶矩阵、小波变换、哈达玛变换（Hardmard Transform）等[5]。
矩阵满足RIP条件时，可通过观测向量y重构稀疏度为K的信号s。以公式为约束，信号s的l0范数为目标函数，建立优化问题
由求解l0范数转化为求解lp范数，使问题的性质得到了转化，从而解决该问题[3，7]。当0
其中C是固定常担u（Φ，Ψ）表示稀疏字典与观测矩阵的相干性，表达式如下：
u（Φ，Ψ）与前面描述的RIP性质以及冗余字典维数有关，RIP性质越好，字典维数越低，该值越趋于1，所需的样本数越低。从雷达信号处理角度来说，字典分的越细，分辨率越高。CS理论不能无限制提高分辨率，必须满足公式（7），否则无法实现稀疏重构。
2 几类典型的压缩感知重构方法
2.1 基于子空间追踪（Subspace Pursuit， SP）的稀疏恢复方法
SP[3]和OMP方法运算速度相当，但是OMP算法在字典选取的过程中无剔除操作，算法不够稳健，而SP算法在挑选稀疏原子的同时，对字典中原子进行迭代更新，保证了原子的准确性，具有和LP优化问题相当的恢复精度，是比较常用的一类方法。
2.2 基于平滑l0范数（SL0）的稀疏恢复方法
SL0方法[2]利用高斯函数逼近l0范数，通过迭代更新平滑参数，以逼近l0范数，SL0方法放宽了对字典RIP性质的要求，表达式如下：f？滓（s）=exp（-高斯函数可微，利用最优化方法即可求解稀疏重构。迭代过程中，随着？滓的变小，函数趋向于l0范数，逐渐提升精度。
2.3 基于贝叶斯压缩感知（Bayesian Compressive Sensing， BCS）的稀疏恢复方法
BCS方法[4]利用目标稀疏的先验信息，结合测量过程，得到稀疏矢量的后验概率。假定接收信号包含方差为？滓2的高斯白噪声，接收数据为
似然分布为
通过似然函数，将CS稀疏重构转化为线性回归问题。利用Laplace分布表征稀疏特性：
结合贝叶斯公式，得到后验概率密度。最大化后验概率得到稀疏矢量的估计值，再利用贝叶斯分析得到稀疏矢量s和？滓完全后验概率分布。
2.4 采用上述方法对稀疏信号的重构实验
假定稀疏矢量s的长度N=512，其中包含K个非零值，非零值在s中的位置和幅度是随机的。利用随机矩阵Φ（M×N）对该信号进行降维观测，其中M=100。采用以上三种方法重构结果如图2所示。图2（a）中K=20，三种方法重构误差均小于0.05，其中SP方法速度最快。图2（b）中K=30，SP方法的重构误差增加，而BCS和SL0方法仍能够保证较高的重构精度。可见，在解决实际问题时，根据精度和运算速度需求选择合适的信号处理方法。
3.1 ISAR成像领域的应用
以星载雷达对空间目标成像为仿真背景，考虑目标自旋现象引起的遮挡效应，图3为采用SRMF方法[9]和结合CS的成像结果。其中目标自标角速度ω=8.12π，图3（a-b）是在观测周期L=4和L=8的条件下结合CS得到的成像结果。11个散射点都能够很好的实现聚焦。然而，图3（c-d）所示的SRMF方法仅有部分散射点被恢复，成像质量差于结合CS的成像结果。有三方面原因：一是SRMF方法的匹配滤波器旁瓣较高，淹没其他散射点，二是只有在观测角不被遮挡时目标信号才能接收到，为了匹配多周期的回波信号以及实现快速FFT操作，SRMF方法无法考虑阴影效应。另外，随着ω提升，多普勒带宽增加，SRMF方法因多普勒模糊成像结果变差，然而，利用CS理论可实现等效采样，改善冗余字典性质，得到更清晰的图像。
3.2 压缩感知方法在DOA领域的应用
本小节重点比较传统DOA估计方法和基于CS方法的DOA估计性能三个远场信号入射到阵元数为8的均匀线阵上，阵元间距取半波长，方位角分别为-70°，-20°，60°，其中-70°，-20°相干。CS算法为单快拍，MUSIC算法快拍数为300。如图4所示，MUSIC算法无法实现解相干，而对于CS算法，由于CS理论采集的信息与信号中的结构和位置相关，并不受相干的限制，可以实现相干源的检测。同时CS方法为单快拍，在样本数不足时仍然能够保持高精度估计，也是CS算法的优势。
4 结论
CS理论打破了传统的香农采样定理，在稀疏信号模型下，以低于奈奎斯特采样率对信号进行采样。通过ISAR成像和DOA估计两个应用实例，给出了雷达信号处理领域中结合CS实现雷达功能的优势。当然，结合CS理论也存在一些弊端，例如在DOA估计中，若阵列存在误差，冗余字典设计存在偏差，此时DOA估计性能反而不及传统方法。同时，在信噪比较低时，绝大多数稀疏恢复方法无法使用。
参考文献：
[1]Donoho D.， "Compressed Sensing，" Ieee Transactions On Information Theory， vol. 52， pp. 5406-5425， 2006.
[2]Mohimani Hosein， Babaie-Zadeh Massoud， Jutten Christian， "A Fast Approach for Overcomplete Sparse Decomposition Based On Smoothed Norm，" Ieee Transactions On Signal Processing， vol. 57， pp. 289-301， 2009.
[3]Wei Dai， Milenkovic Olgica， "Subspace Pursuit for Compressive Sensing Signal Reconstruction，" Ieee Transactions On Information Theory， vol. 55， pp. 2230-2249， 2009.
[4]Tipping Michael E.， "Sparse Bayesian Learning and the Relevance Vector Machine，" Journal Of Machine Learning Research， vol. 1， pp. 211-244， 2001.
[5]Dossal C.， Peyré G.， Fadili J.， "A Numerical Exploration of Compressed Sampling Recovery，" Linear Algebra And Its Applications， vol. 432， pp. 1663C1679， 2010.
[6]Davies M. E.， Gribonval R.， "Restricted Isometry Constants Where Lp Sparse Recovery Can Fail for 0
[7]Tianyao Huang， Yimin Liu， Huadong Meng， Xiqin Wang， "Adaptive Compressed Sensing Via Minimizing CramerCRao Bound，" Ieee Signal Processing Letters， vol. 21， pp. 270-274， 2014.
[8]Candès E.， Romberg J.， "Sparsity and Incoherence in Compressive Sampling，" Inverse Problems， vol. 23， pp. 969-985， 2007.
[9]Wang Qi， Xing Mengdao， Lu Guangyue， Bao Zheng， "Single Range Matching Filtering for Space Debris Radar Imaging，" IEEE Geoscience and Remote Sensing Letters， vol. 4， pp. 576-580， 2007.