巧妙转化,求解线段和的最小值

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【摘 要】 最值问题是初中阶段常见的一类题型.中考也在不断地变换形式考查这一问题的应用.最常见的一类就是利用“两边之和大于第三边”求解两条线段和的最小值.不论是与三角形、四边形结合，还是与圆结合，万变不离其宗，都是需要合理转化.本文就求解三条线段和的最小值来展开，利用不同的方法进行转换，进而从根本上解决这类问题.

【关键词】 线段；等面积；全等；相似；最小值

初中阶段的线段最值问题主要是以“两点之间，线段最短”为理论依据的.同时在实际运用过程中也经常用到“三角形两边之和大于第三边”“三角形两边之差小于第三边”.有时候还会结合“点到线段垂线段最短”的结论.但是遇到求三条线段和的最小值，并且三条线段并未相连的时候，我们则需要对其进行转化，那么都有哪些方法可以转化呢？来看下面的例题：

例 如图1，正方形ABCD边长为6，P为BC上的动点，分别过点B，C，D作射线AP的垂线，求BG + CF + DE的最小值.

分析 该题目和以往遇到的求线段和最小值有所不同，想把三条线段转化到一条线段上不是那么容易，所以需要重新审查题目条件，寻找可以有效转化的办法.这时候我们注意到三条线段有共性：都和AP垂直，那么是不是可以将它们作为三角形的高，从而利用等面积法来转化呢？

方法1 连接DP，AC，由图2可知，

S正方形ABCD = SADP + SABP + SPDC.

SPDC = SAPC（同底等高的两个三角形），

S正方形ABCD = SADP + SABP + SAPC.

即36 = ■AP（DE + BG + CF），从而DE + BG + CF = ■.

要使DE + BG + CF最小，则AP应该最大.当点P运动至点C处时，AP最大为6■，此时DE + BG + CF = 6■.其实我们还可以得到6 ≤ AP ≤ 6■ .

除了利用等面积的方法，我们还可以考虑将题目中的三条线段进行等量代换，从而解决问题.下面我们用全等的方法来解答这个题目.

方法2 构造赵爽弦图.如图3，过点C作CNDE交DE于点N，延长BG交CN于点Q，可知四边形NEFC为矩形，CF = NE.

容易证明DAE，ABG，BCQ，CND均全等（AAS）.

不妨设AE = x，DE = y，那么AE = BG = CQ = DN = x，CF= NE = DE - DN = y - x， DE + BG + CF = y + x + y - x = 2y.

若DE + BG + CF最小，则要求y最小.当点P运动至点C时y最小，为正方形ABCD对角线的一半，y = 3■.

DE + BG + CF的最小值为6■.

方法3 如图4，不妨作DHFC，交FC的延长线于点H.

可知四边形DEFH为矩形.

容易证明DAE ≌ DCH（AAS）.

DE = DH，AE = CH.

四边形DEFH为正方形，DH = FH = ■DF.

由DAE ≌ ABG（AAS），可得AE = BG.

等量代换可得BG = CH，从而DE + BG + CF = DH + CH + CF = DH + FH = ■DF，

当DF最小时，DE + BG + CF最小.

当点P运动到点C的时候DE值最小，为3■.

DF的最小值为■DE = 6， DE + BG + CF的最小值为■DF = 6■.

上面的方法利用三角形全等以及等量代换，将所求线段合理转化，从而求出了线段和的最小值.回头再看题目条件，三条线段均和AP垂直，这样很容易能使我们联想到相似，那么利用三角形相似能不能解答这个题目呢？其中都有哪些相似的三角形呢？

方法4 如图5，容易证明DAE ∽ BPG ∽ CPF，因此■ = ■ = ■.根据等比性质，可得■ = ■，

DE + BG + CF = 2DE.

而DE的最小值为3■，

DE + BG + CF的最小值为6■.

通过这个例题，我们发现其实这类试题都是与特殊图形相结合，考查学生对基本几何图形的形状、大小、位置关系的认识，注重让学生在解题过程中感受转换、推理的探索过程，让学生学会发散思维，将所学知识进行合理演绎.

例如在这道例题中，我们发现三条线段无法利用结论“两点之间，线段最短”来解决，就必须考虑线段转化来解决这个问题.那么如何进行转化就需要我们根据已知条件来合理选择.出现垂直的时候我们一般要考虑等面积的方法、相似的方法以及传统的全等方法来进行等量代换.以后再遇到类似的题目，需要在思考的同时从不同的角度寻找突破点，合理转化，解决问题.