利用灰色模型预测长春市公路客运量

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【摘要】 本文选取2003―2012年吉林省长春市公路客运总量数据，运用灰色预测模型对长春市的客运总量进行分析，建立灰色预测GM（1，1）模型，并进行一系列检验：残差检验、关联度检验、后验差检验及误差分析. 同时，预测未来两年长春市的客运总量.

【关键词】 残差检验；关联度检验；后验差检验；误差分析

【项目来源】 吉林省教育厅“十二五”科学技术研究项目，吉教科合字[2013]第142号.

公路客运量是一个受多层次、多因素影响的复杂关系量，为了准确预测它，必须考虑各种影响因素，需要收集大量信息，由此带来的问题是建模困难，计算量大. 有时，即使模型能够建立，往往又因缺少足够的信息不能确定模型的参数，导致无法实现预测. 灰色系统理论所提出的灰色系统模型预测方法，避开了这些复杂的相互关系，它不要求那么多的信息，而只是着眼于系统本身的灰色信息，寻找系统本身的内在规律，达到使灰色系统白化的目的.

灰色系统预测模型是基于灰色系统的理论思想，将离散变量连续化，用微分方程代替差分方程，用生成数序列代替原始时间序列，弱化原始时间序列的随机性，再通过一定的步骤建立生成数的数学模型，此模型只适用于短期和中期预测，不适于长期预测.

一、灰色GM（1，1）模型

灰色预测模型直接使用的不是原始数据，而是原始数据产生的生成数. 生成分为累加生成和累减生成，分别记为AGO和IAGO.

设原始数据为X（0）=（x（0）（1），x（0）（2），…，x（0）（n）），由它产生的r次累加生成r - AGO为X（r）=（x（r）（1），x（r）（2），…，x（r）（n）），其中x（r）（k）=■x（r-1）（i）=x（r）（k-1）+x（r-1）（k），x0（1）=x0（2） = … = 0，k = 1，2，…，n，r = 1，2，….

令Z（1）为X（1）的紧邻均值（MEAN）生成序列Z（1） = （z（1）（2），z（1）（3），…，z（1）（n）），其中z（1）（k） = 0.5x（1）（k） + 0.5x（1）（k - 1）.

则GM（1，1）的灰微分方程模型为

x（0）（k） + az（1）（k） = b.（1）

式中a称为发展系数，b为灰色作用量. 设■为待估参数向量，即■ = （a，b）T，则灰微分方程（1）的最小二乘估计参数列满足■ = （BTB）-1BTYn，其中

B=-z（1）（2） -z（1）（3） … -z（1）（n） 1 1 … 1T，

Y=[x（0）（2） x（0）（3） … x（0）（n）]T.

称方程■+ax（1） = b为方程（1）的白化方程. 其解■（1）（t）=x（1）（0） - ■e-at + ■也称为时间响应函数，时间响应序列

■（1）（k + 1） = x（1）（1） - ■e-ak + ■，k = 1，2，…，n

即为预测方程. 还原值

■（0）（k + 1） = ■（1）（k + 1） - ■（1）（k）.

二、 模型检验

GM（1，1）模型的检验分为三个方面：残差检验、关联度检验、后验差检验.

（一）残差检验

即对模型值和实际值的残差进行逐点检验. 首先按模型计算■（1）（i + 1），将■（1）（i + 1）累减生成■（0）（i），最后计算原始序列x（0）（i）与■（0）（i）的绝对残差序列

Δ（0）={Δ（0）（i），i = 1，2，…，n}，Δ（0）（i） = |x（0）（i） - ■（0）（i）|

及相对残差序列

？准 = {？准i，i = 1，2，…，n}，？准i = ■%

并计算平均相对残差■ = ■■？准i . 给定α，当■ < α，且？准i < α（i = 1，2，…，n）成立时，称模型为残差合格模型.

（二）关联系数与关联度检验

关联系数：设数据列

■（0）（k） = {■（0）（1），■（0）（2），…，■（0）（n）}

X（0）（k） = {X（0）（1），X（0）（2），…，X（0）（n）}

关联系数定义为：

η（k） =

■

其中ρ称为分辨率，0 < ρ < 1，一般取ρ = 0.5.

关联度：各类关联系数的平均值r = ■■η（k），称为■（0）（k）序列与X（0）（k）序列的关联度. 关联度检验，即通过考察模型值曲线和建模序列曲线的相似程度进行检验. 根据经验，关联度大于0.6便是满意的.

（三）后验差检验

后验差检验，即对残差分布的统计特性进行检验.

设原始序列X（0）的均方差和残差的均方差分别为：

S1 = ■，

S2 = ■.

令S0 = 0.6745S1，ei = |Δ（0）（i） - ■|，则小残差概率

p = P{|Δ（0）（i） - ■| < 0.6745S1} = P{ei < S0}.

记方差比C = S1/S2，若对于给定的C0 > 0，当C < C0时，称模型为均方差比合格模型；如对给定的P0 > 0，当P > P0时，称模型为小残差概率合格模型.

若相对残差、关联度、后验差检验在允许的范围内，则可以用所建的模型进行预测，否则应进行残差修正.

三、误差分析

评价预测方法好坏的标准用平均绝对百分误差MAPE来衡量：

MAPE ≤ 10% 高精度预测

10% < MAPE ≤ 20% 良好预测

20% < MAPE ≤ 50% 可行预测

MAPE > 50% 错误预测

四、历史数据的收集、分析与处理

收集了长春市2003―2012年各季度公路客运量，见附录1. 画出散点图（如图1）. 从图中可以看出，总体来说，长春市的客运量逐年上升，2007年2月，客运量明显大于其他月份，如在预测时不作任何数据处理，会影响预测精度，但如果将异常数据剔除掉，又会因为样本数的减少而影响预测的准确度，本文对异常值做了简单的处理.

理论上，正常的序列{Xt}是平滑的，则应有■t - kSt < Xt+1 < ■t + kSt，其中

■t = ■■Xj，St2 = ■ - ■t2，■ = ■■Xj2，k ∈ [3，9]，这里k = 4.

用上面的公式对异常值点的进行检验，由数据可得：（■ - 4St，■+ 4St）=（96.6763，545，7827）. 易见559.07？埸（■ - 4St，■ + 4St），其他点都落在（■ - 4St，■ + 4St）中，故559.07为异常值，需要进行修正：

如果Xt+1是一个异常点，我们可以用■t = 2Xt - Xt-1来修正. 本文中，Xt为2007年1月的客流量，算得■t = 2 × 115.98 - 76.95 = 155.01，把2007年2月的客运量修正为155.01万人次. 再次画散点图（如图2）：

所以，将2007年2月的客运量修正为155.01万人次，2007年第一个季度的总客运量为360.24万人次.

五、实证分析

（一）灰色模型的建立

设原始数列为：

X（0）（k） = {968.77，1082.78，1217.62，1291.02，1299.32，

1391.19，1314.23，1365.13，1373.62，1346.65}.

经软件S-PLUS计算，得

■ = ab = （BTB）-1BTYn = -0.02103791158.4025951.

得出预测模型

■（1）（k + 1）=56031.4234e0.0210379k - 55062.6534.

（二）灰色模型的检验

残差检验 根据预测公式，计算■ （1）（k）：

■ （1）（k） = {968.77，2160.04，3376.638，4619.102，5887.981，

7183.838，8507.245，9858.789，11239.07，12648.69} （k = 0，1， … ，9）.

累减生成序列■ （0）（k）：

■ （0）（k） = {968.77，1191.27，1216.598，1242.464，1268.879，

1295.857，1323.407，1351.544，1380.281，1409.62}，k = 1，2， … ，10 .

绝对残差和相对残差序列分别是：

Δ（0） = {0，108.49，1.02，48.56，30.44，95.33，9.18，13.59，6.66，

62.97}，

？准 = {0，10.02%，0.08%，3.76%，2.34%，6.85%，0.70%，1.00%，0.48%，4.68%}.

可见，相对残差不超过10.02%，模型精确度高.

关联度检验 由绝对残差序列Δ（0）（k），可得

min{Δ（0）（k）} = 0，max{Δ（0）（k） } = 108.49，

算得关联系数

η（k） ={1，0.33，0.98，0.53，0.64，0.36，0.86，0.80，0.89，

0.46}，

关联度ri = ■■ηi（k） = 0.685 > 0.6，满足P = 0.5时的检验准则.

后验差检验 算得序列X（0）的均方差及残差的均方差分别是：

S1= 138.2405，S2 = 39.8141，

C = ■ = 0.2880，S0 = 0.6745S1 = 93.2432，

ek = |Δ（k） - ■| = {37.624，70.866，36.604，10.936，7.184，

57.706，28.444，24.034，30.964，25.346}.

所有ei都小于S0，故小残差概率P{ei < S0} = 1 > 0.95，同时C = 0.2880 < 0.35，故模型x（1）（k + 1）= 56031.4234e0.021037912- 55062.6534预测精度优.

作出客运量实际值与预测值的对比图如下，由图3可见，两者吻合得很好.

取k = 10，11时，分别得2013年、2014年长春市公路客运总量预测值：

x（0）（11） = 1439.742（万人），x（0）（12）= 1470.355（万人）.

即2013年、2014年长春市客运总量预计达1439.742万人和1470.355万人次.

（三）误差分析

平均绝对百分误差MAPE = ■■■ × 100% = ■ × 0.2991 × 100% = 2.99%，根据平均绝对百分误差MAPE对预测的衡量标准，上述结果表明用该模型进行预测，效果为高精度预测（MAPE≤10%）.

【参考文献】

[1]侯文超. 经济预测――理论、方法及应用[M].北京：商务印书馆，1993.

[2]徐国祥.统计预测和决策・第三版.上海：上海财经大学出版社，2008.

[3]肖枝洪，郭明月. 时间序列分析与SAS应用[J]. 武汉：武汉大学出版社，2009.

附录

2003―2012年各季度长春市公路客运量（单位：万人）