探索发现型问题的解题策略
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1.引言
初中数学中的“探索发现”型试题是需要经过推断、补充并加以证明的命题，它不像传统的解答题或证明题，定型于“条件―演绎―结论”这样一个封闭的模式中。由于命题中缺少一定的题设或未给出明确的结论，因此必须利用题设大胆猜想、分析、比较、归纳、推理，由条件去探索不明确的结论;或由结论去探索未给予的条件;也或者去探索存在的各种可能性及发现所形成的客观规律.
在近几年的中考试题中，探索性问题屡屡出现，出题的角度越来越新颖，考察的能力要求越来越高，深受关注.但是，数学探索性问题的出现在一定程度上给学生的解题带来了诸多困难，也给教师的教学提出了新的挑战，为此，笔者现就数学探索性问题的解题策略作探讨.
2.“探索发现”型问题的解题方法
此类问题由于题型新颖、综合性强、结构独特等，一般并无固定解题思路模式，但是可以从以下几个角度考虑.
2.1利用特殊值（特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等）进行归纳、概括，从特殊到一般，从而得出规律.
2.2反演推理法，即先假设结论成立，根据假设进行推理，看是推导出矛盾还是能与已知条件一致.
2.3分类讨论法.当命题的题设和结论不唯一，难以统一解答时，则需要按可能出现的情况，分门别类加以讨论求解.
2.4类比猜想法，即由一个问题的结论或解决方法类比猜想出另一个类似问题的结论或解决方法，并加以严密论证.
以上所述并不能全面概括此类命题的解题策略，因而具体操作时，应更注重数学思想方法的综合运用.
3.“探索发现”型问题的分类及知识运用举例
3.1条件探索型：这类题结论明确，需要去探索发现使结论成立的条件.
对应的解题策略有：
（1）模仿分析法.将原的题设和结论视为已知条件，分别进行演绎再有机地结合起来，推导出所需寻求的条件.
（2）设出题目中指定的探索条件，将此假设为已知，结合题设条件列出满足结论的等量或不等量关系，通过解方程或不等式，求出所需寻找的条件.
例1：已知，如图ABC内接于O，（1）当点O与AB有怎样的位置关系时，∠ACB是直角？（2）在满足（1）的条件下，过点C作直线交AB于D，当CD与AB有什么样的关系时，ABC∽CBD∽ACD？（3）画出符合（1）、（2）题意的两种图形，使图形的CD=2cm.
解析：（1）当点O在AB上（即O为AB的中点）时，∠ACB是直角;
（2）∠ACB是直角，当CDAB时，ABC∽CBD∽ACD;
（3）作直径AB为5的O，在AB上取一点D，使AD=1，BD=4，过D点作CDAB交O于C点，连接AC、BC，即为所求（如图所示）.
评注：本题是一个简单的几何条件探索题，它突破了过去“假设―求证”的封闭式论证，而是给出问题的结论，逆求结论成立的条件，强化了对学生通过观察、分析、猜想、推理、判断等探索活动的要求.看似平常，实际上非常精彩.
3.2结论探索型：这类题条件已知但无明确结论或结论不唯一，需要探索与条件相对应的结论.
对应的解题策略有：
（1）运用定义或定理直接导出结论;（2）通过具体到抽象，特殊到一般的归纳获得结论，再给出严格证明;（3）通过类比，联想，猜测出结论，再加以证明.
例2：（2007北京市改编）我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形.
（1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称;
（2）在ABC中，如果∠A是不等于60°的锐角，点D，E分别在AB，AC上，且∠DCB=∠EBC=∠A.探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论.
解：（1）回答正确的给1分（如平行四边形、等腰梯形等）.
（2）答：此时存在等对边四边形，是四边形DBCE.
如图1，作CGBE于G点，作BFCD交CD延长线于F点.
因为∠DCB=∠EBC=∠A，BC为公共边，
所以BCF≌CBG.所以BF=CG.
因为∠BDF=∠ABE+∠EBC+∠DCB，∠BEC=∠ABE+∠A，所以∠BDF=∠BEC.
可证BDF≌CEG.所以BD=CE.
所以四边形DBCE是等边四边形.
评注：这是一道以探索结论为目的的开放型试题，它不限结论，而是让考生根据条件去探索结论.因此，这类考题对开阔视野、启迪智慧、培养发散思维能力大有好处。
3.3存在探索型：这类问题是指在某种题设条件下，判断具有某种性质的数学对象是否存在.
解题的策略与方法：先假设数学对象存在，以此为条件进行运算或推理.若无矛盾，说明假设正确，由此得出符合条件的数学对象存在;否则，说明不存在.
例3：（2005年湖北省黄冈改编）如图在直角坐标系中，O是原点，A、B、C三点的坐标分别为A（18，0）、B（18，6）、C（8，6），四边形OABC是梯形.点P、Q同时从原点出发，分别做匀速运动，其中点P沿OA向终点A运动，速度为每秒1个单位，点Q沿OC、CB向终点B运动，当这两点有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动.
（1）求出直线OC的解析式.
（2）设从出发起运动了t秒，当P、Q两点运动的路程之和恰好等于梯形OABC的周长的一半时，直线PQ能否把梯形的面积也分成相等的两部分？如有可能，请求出的值;如不可能，请说明理由.
分析与解答：（1）设OC的解析式为y=kx，将C（8，6）代入，得k=，yx.
（2）易得梯形的周长为44.
①如图当Q点在OC上时，P运动的路程为，则Q运动的路程为（22-t）.
过Q作QMOA于M，则QM=（22-t）×.
S（18+10）×6=84.
假设存在t值，使得P、Q两点同时平分梯形的周长和面积，
则有t（22-t）×=84×，即t-22t+140=0.
=22-4×140<0，这样的t不存在.
②如图，当Q点在BC上时，Q走过的路程为（22-t），故CQ的长为：22-t-10=12-t.
S=（CQ+OP）AB=×（12-t+t）×6=36≠84×，
这样的t也不存在.
综上所述，不存在这样的值，使得P、Q两点同时平分梯形的周长和面积.
3.4规律探索型：是指在一定的条件下，探索有关数学对象所具有的规律性或不变性的题目.
解题的策略与方法：根据已知条件或所提供的若干个特例，通过观察、类比、归纳，提示和发现题目所蕴含的本质规律与特征.
例4.（2007四川乐山）如图（15），在直角坐标系中，已知点P的坐标为（1，0），将线段OP按逆时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP的2倍，得到线段OP;又将线段OP按逆时针方向旋转45°，长度伸长为O的2倍，得到线段OP;如此下去，得到线段OP，OP，…，OP（n为正整数）.（1）求点P的坐标;（2）求POP的面积;（3）我们规定：把点P（x，y）（n=0，1，2，3…）的横坐标x、纵坐标y都取绝对值后得到的新坐标（|x|，|y|）称之为点P的“绝对坐标”.根据图中点P的分布规律，请你猜想点P的“绝对坐标”，并写出来.
解：（1）（2）略.
（3）由题意知，OP旋转8次之后回到x轴正半轴，在这8次中，点P分别落在坐标象限的平分线上或x轴或y轴上，但各点绝对坐标的横、纵坐标均为非负数，因此，点P的坐标可分三类情况：令旋转次数为n，
①当n=8k或n=8k+4时（其中k为自然数），点P落在x轴上，此时，点P的绝对坐标为（2，0）;
②当n=8k+1或n=8k+3或n=8k+5或n=8k+7时（其中k为自然数），点P落在各象限的平分线上，此时，点P的绝对坐标为（2，2;
③当n=8k+2或n=8k+6时（其中k为自然数），点P落在y轴上，此时，点的绝对坐标为（0，2）.
评注：本题从特殊情形入手，通过图形的变换，寻找数量上的内在规律，颇具新意.
以上四个方面举例，较全面地讨论了开放性与探索性问题求解的基本思路与方法，但由于这类问题的条件或结论的不确定性，使我们解答过程中不能仅从一个思维层面上思考，应该运用发散思维思考问题，探索要从特殊到一般，从感性到理性角度看问题，猜测要大胆，在确定解题思路方向的前提下，敢于采用所学习过的各种数学方法去尝试，只要这样训练，才能适应新中考命题中不断创新的试题的考试要求.