高考考题研究《例谈线性规划的解题策略》

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线性规划问题是近几年高考命题的热点，此类试题经常是以二元一次不等式（组）为约束条件，求目标函数的最值为背景，考查考生的数形结合的能力和运用数学知识综合解决问题的能力，因而备受命题者的青睐。本文总结2015年全国各地高考试题的基础上，赏析几类线性规划问题，旨在探寻题型规律，揭示解题策略。

类型1 求线性目标函数的最值

例1【2015高考北京，理2】若x，y，满足x-y≤0x+y≤1x≥0则z=x+2y的最大值为（ ）

点评：对线性规划问题，先作出可行域，再作出目标函数，利用线性目标函数中直线的纵截距的几何意义，结合可行域即可找出取最值的点，通过解方程组即可求出最优解，代入目标函数，求出最值。此题主要考查线性相关问题和数形结合的数学思想，同时考查学生的作图能力与运算能力。

类型2 简单线性规划的实际应用

例2【2015高考陕西，理10】某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料.已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（ ）

A.12万元 B.16万元

C.17万元 D.18万元

【解析】设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为x、y吨，则利润z=3x+4y

由题意可列3x+2y≤12x+2y≤8x≥0y≥0，其表示如图阴影部分区域：

当直线3x+4y-z=0过点A（2，3）时，z取得最大值，所以zmax=3×2+4×3=18，故选D。

点评：利用图解法解决线性规划问题，要注意合理利用表格，帮助理清繁杂的数据；另一方面约束条件要注意实际问题的要求。如果要求整点，则要用平移法验证。

规律总结：与线性规划有关的应用问题，通常涉及最优化问题。其一般步骤是：一设未知数，确定线性约束条件及目标函数；二是转化为线性规划模型；三解该线性规划问题，求出最优解；四调整最优解。

类型3 线性规划的综合问题及求非线性目标函数的最值

类型4 含有参数的线性规划问题

例 【2015高考山东，理6】已知x，y满足约束条件x-y≥0x+y≤2y≥0，若z=ax+y的最大值为4，则a=（ ）

【解析】不等式组x-y≥0x+y≤2y≥0在直角坐标系中所表示的平面区域如上图中的阴影部分所示，若z=ax+y的最大值为4，则最优解可能为x=1，y=1或x=2，y=0，经检验，x=2，y=0是最优解，此时a=2；x=1，y=1不是最优解，故选B。

点评：本题通过确定参数的值，考查学生对线性规划的方法理解的深度以及应用的灵活性，意在考查学生利用线性规划的知识分析解决问题的能力。非线性的目标函数的问题，常需考查目标函数或可行域的几何意义求解，应予以关注。

规律总结：解决此类问题，关键是通过对线性规划的深化理解，确定参数的值。