谈平面几何中有趣的翻折问题

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【摘要】 在初中数学的学习中，平面几何占了很大一部分，是学习的一个重点，而在平面几何中，存在一类非常有趣的题型，就是翻折问题. 翻折是我们在生活中常常会遇到的一种现象，特别是在一些有趣的折纸活动中，通过不断地翻折，总能折叠出一些非常有趣和魅力的物体或图案. 而翻折问题在几何的考查中，也是具有重要特征的一类题目.

【关键词】 初中数学；平面几何；翻折问题；对称图形；全等图形

翻折问题其实运用的就是有关轴对称的知识，学生只有掌握好轴对称的相关性质，才能更加顺利地解决翻折问题. 下面将通过几个例子来具体说明，希望对学生的解题思路有所启发.

一、翻折后的形状问题

翻折后的形状问题，主要是对某个形状进行若干次的翻折之后，剪去其中一个部分，判断剩余部分的形状. 也可以是反过来，给出剩余部分的形状，让学生判断这个过程中是如何翻折的. 这就需要学生在每一次的翻折中都明确对应的位置，确定好了相应的位置，才能轻松判断出剪去的部分到底是原图中的哪一部分.

例1 小华拿出了一张正方形纸张，如图①所示，沿着虚线对折之后得到图②，再按照图②中的虚线对折得到图③，沿着图③的虚线（虚线与所得三角形的底边平行）剪去一个角，打开之后得到的图形是 （ ）.

分析 在第一次折叠中，正方形的两个直角重叠到了一起形成了图②中三角形的直角，而另两个直角在折叠后形成了图②中三角形的两个锐角. 再一次折叠，原正方形的四个直角变成了图③中三角形的两个底角，顶角为原正方形的中心，因此裁剪后的图形应该是中间少了一部分. 抓住裁剪虚线与三角形底边平行这一点，可以得到正确答案为D.

点评 这类题目是一种比较基础的考题，对学生的空间想象能力提出了要求，解决这类问题，还有一种方法就是通过实际的动手操作进行验证. 教师在平时的教学中可以组织学生进行这一类折叠活动，让学生熟练折叠的方式与产生的折痕之间的关系，树立这种对应意识.

二、翻折后的角度问题

在图形进行翻折之后，会产生很多有关角度的问题，有的角没变，有的角会变，这就需要实际考虑，仔细观察，理清折叠的过程，把相关联的角找出来就能很快地解决问题.

例2 如图2所示，把一张平行四边形纸片ABCD沿着BD对折，使C点落在E处，BE与AD相交于点O，若∠DBC = 15°，那么∠BOD = ______.

解析 由翻折的意义可知，BCD ≌ BED，∠DBC = ∠DBE，∠EOD = ∠OBC = ∠OBD + ∠DBC = 15° + 15° = 30°，∠BOD = 180° - ∠EOD = 180° - 30° = 150°.

例3 如图3所示，已知正方形纸片ABCD，M，N分别是AD，BC的中点，把BC边向上翻折后，使C点恰好落在MN上的P点处，BQ为折痕，则∠PBQ = ______.

解析 可以先连接PC，根据已知可得，MN为BC的中垂线，故PB = PC，又由已知得点P，C关于直线PQ对称，所以BP = BC，因为BPC为正三角形，所以∠PBC = 60°，∠PBQ = ∠CBQ = ■∠PBC = 30°. 另外，也可以根据“直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半”这个定理来求解.

点评 在翻折问题中求角的度数，通常都是通过一些转化的途径把所求的角与已知联系起来，翻折问题中有很多角是相等的，这也为转化角提供了可能. 在解题中一定要注意这一点，充分利用好相同角的互换，灵活地解题.

三、翻折后的线段长度问题

在图形的翻折之后，常常会产生一些新的线段，图形在经过翻折之后，部分线段的位置发生变化，有的线段长度也会发生变化，求翻折后的线段问题的方法，与翻折后求角度问题的方法是比较类似的，都是要抓住翻折前后的对应关系，把相对应的线段做好标记，利于使用.

例4 如图4所示，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB = CD，∠DBC = 45°，翻折梯形ABCD后，使点B重合于点D，折痕分别交边AB，BC于点F，E.如果AD = 2，BC = 8，求BE的长.

解析 根据翻折可得，点B，D关于直线EF对称，BDEF. 又∠DBC = 45°，∠BEF = 45°. BEF和DEF关于EF成轴对称，∠DEF = ∠BEF = 45°，DEBC，DE = BE. 又CE = ■（BC - AD） = 3， BE = 5.

点评 在翻折问题中除了要注意对应线段的相等关系，还要留意翻折中所产生的一些特殊三角形，比如说等腰三角形、直角三角形等，这些特殊三角形的性质常常也能帮助解决问题.

从以上几道例题我们可以看到，翻折问题的考查难度并不大，但还算灵活，翻折问题主要是依托于轴对称图形的性质，同时结合在翻折中产生的一些特殊图形的性质进行考查. 学生如果要对相关的知识有足够的了解，并能抓住翻折过程中的一些关键点进行分析，就一定能顺利地解决问题.