例谈抛物线对称性的应用

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【摘要】 在初中阶段所研究的函数中，函数的图像和性质是最重要的内容，也是最常考的内容. 在抛物线的学习过程中，抛物线的对称性是它的一个显著特征，对称性的考查和利用也是比较灵活的. 本文将以一些典型的例题来谈谈抛物线对称性该如何运用.

【关键词】 初中数学；抛物线；函数的性质；知识运用能力

首先我们来回顾什么是抛物线，二次函数y = ax2 + bx + c（a ≠ 0）的图像就是一条抛物线. 抛物线的对称轴可以用直线x = -■表示，当二次函数的形式为y = a（x - h）2 + k（a ≠ 0）时，抛物线的对称轴为直线x = h. 在解有关函数的问题时，我们常常会用数形结合的方法，数形结合能更快地理清思路，运用好已知条件. 下面我们通过几个例子来谈谈关于抛物线对称性的一些考点和用法.

一、求点的坐标

例1 若函数y = ax2 + bx + c（a ≠ 0）经过点A（-2，7），B（6，7），C（3，-8），那么抛物线上纵坐标为-8的另一点的坐标为______.

分析 一看到是求点的坐标，很多学生就会想到要先求抛物线的解析式，再把所求点的纵坐标代入到解析式中，就可以求出该点的横坐标. 而要求抛物线的解析式也是可以的，因为已知条件中给出了三个点的坐标，把三个点的坐标代入到函数的一般式中，通过解方程组可得出抛物线的解析式. 这种方法是一种传统的方法，也是很多学生会用到的，但其实这道题还有更加简便的方法，省去了烦琐的计算，也能快速地得出答案，关键就是要细心观察已知中给出的三个点的坐标. 可以看到A（-2，7），B（6，7）两点的纵坐标是相等的，说明这是两个点于关抛物线的对称轴对称，那么就可以直接利用抛物线的对称性快速解题.

解析 由题意得，抛物线的对称轴x = ■ = 2，所求点与点C对称，2 × 2 - 3 = 1，所求点的坐标为（1，-8）.

二、求代数式的值

例2 抛物线y = ax2 + bx + c（a ≠ 0）的对称轴是x = 2，且经过点P（3，0），那么a + b + c的值是（ ）.

A. -1 B. 0 C. 1 D. 2

分析 在这道题中，要求的是代数式a + b + c的值，这类题目我们也会经常接触到，a + b + c的值就是当x = 1时，函数y的值. 仔细观察就可以看到，我们不用求出每个字母的值，充分利用好对称轴这个已知条件，就能巧妙地解决问题.

解析 因为抛物线的对称轴是x = 2，2 × 2 - 3 = 1，也就是与点P对称的点是（1，0），正好是我们所要求的当x = 1时函数的值. 所以a + b + c的值为0. 答案选B.

三、比较函数值的大小

例3 如果A-■，y1，B-■，y2，C-■，y3为函数y = x2 + 4x - 5的图像上三点，那么y1，y2，y3的大小关系是（ ）.

A. y1 < y2 < y3 B. y3 < y1 < y2

C. y2 < y1 < y3 D. y1 < y3 < y2

分析 这道题可以直接代入计算，但这样的话会带来非常大的计算量，是不可取的一种方法. 比较函数值的大小可以利用函数的单调性进行比较，但抛物线的单调性并不是单一的，而是有增有减，因此在使用的时候不仅要先搞清函数的单调性，还要明确点的位置关系以及和对称轴的水平距离.

解析 根据题意可得，抛物线的开口向上，函数的对称轴为x = -■ = -2，当x > -2时，y的值随着x的增大而增大，所求点的横坐标均大于-2，因为-■ < -■ < -■，所以y2 < y1 < y3. 答案选C.

四、求函数的解析式

例4 已知二次函数的图像经过点A（2，-3），对称轴为x = 1，且与x轴的两个交点之间的距离为4，求这个二次函数的解析式.

分析 这是一道求函数解析式的题目，而我们首先会想到的就是根据已知条件来设函数为哪种形式，运用常规的方法都能求解，但会产生一个非常复杂的三元方程，而巧用函数的对称性，能轻松地解决这些问题，化难为易，化繁为简.

解析 由抛物线的对称性可知，抛物线与x轴的两个交点的坐标分别为（-1，0）和（3，0），于是可以把函数设为两点式y = a（x + 1）（x - 3），将A点坐标代入得-3 = -3a，a = 1，即所求函数为y = （x + 1）（x - 3），整理，得y = x2 - 2x - 3.

函数的对称性是二次函数图像的一个重要特征，常常可以巧妙地运用于解决问题当中. 从上面的几个例题就不难发现，很多题目都可以用常规的方法来解决，但计算会很烦琐，过程比较复杂，而能巧妙地运用对称性的话，问题都能快速解决，并且解题过程得到了有效的简化. 因此，在解题时，一定要先细心观察和认真思考，抓住题目中的一些关键信息，用最简便的方法来解答.

【参考文献】

[1]葛加建.由二次函数问题案例教学谈初中生探究能力的培养[J].成才之路，2013（36）.

[2]刘克庭.运用函数性质，培养学生抽象思维与逻辑思维能力[J].学园，2013（33）.

[3]徐英.学好二次函数的三个重要方面[J].初中生世界：九年级，2013（12）.