特色试题面面观

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在数学浩瀚的题海里，总能遇到这样一类问题：条件充裕，结论清楚，就是找不到条件和结论之间的联系，继而无法寻求解决问题的突破口. 作为选拔优秀人才的中考压轴题，更加强了学生能力的考查.下面笔者以实例说明如何巧用构造法，构造基本图形，建立条件和结论之间的联系，从而解决问题.

一、构造平面直角坐标系

例1 2013年淮安中考题28题：如图1，在ABC中，∠C = 90°，BC = 3，AB = 5. 点P从点B出发，以每秒1个单位长度沿BCAB的方向运动；点Q从点C出发，以每秒2个单位沿CAB的方向运动，到达点B后立即原速返回，若P，Q两点同时运动，相遇后同时停止，设运动时间为t.

（1）当t = 时，点P与点Q相遇；

（2）在点P从点B到点C的运动过程中，当t为何值时，PCQ为等腰三角形？

（3）在点Q从点B返回点A的运动过程中，设PCQ的面积为S平方单位.

①求S与t之间的函数关系式；

②当S最大时，过点P作直线交AB于点D，将ABC沿直线PD折叠，使点A落在直线PC上，求折叠后的APD与PCQ重叠部分的面积.

分析 在解决第（3）小题第②问的过程中，求重叠部分的面积，就必须求得高GF的长度，笔者走访了初二学生，他们普遍认为图中使用两次甚至三次相似，难度还是很大的. 如果构造平面直角坐标系，将几何图形放在坐标系中，求重叠部分的面积，要比使用相似简洁得多. 解题过程如下：

解 建立如图2所示平面直角坐标系.

由①知，当t = 5时，S有最大值，此时，P是AC的中点， AQ = 14 - 2t = 14 - 2 × 5 = 4.

沿直线PD折叠，使点A落在直线PC上， PD一定是AC的中垂线.

AP = CP = ■AC = 2，PD = ■BC = ■.

在AQE中，tan∠A = ■，sin∠A = ■，而tan∠A = ■，sin∠A = ■， AE = ■，QE = ■.

则PE = AE - AP = ■ - 2 = ■.

则易得C（-2，0），D0，■，P（0，0），Q-■，■，可知yCD = ■x + ■，yPQ = -2x.

由yCD = ■x + ■，yPQ = -2x，可得交点G的纵坐标为y = ■，即GF = ■.

到此，不难求得重叠部分面积SGPC = ■・PC・GF = ■ × 2 × ■ = ■.

反思 构造平面直角坐标系，有助于将几何图形问题转化为函数问题，此题中GPC的高GF，就是点G的纵坐标，应用函数知识解决点G的坐标，从而求出高GF的长度，这样比使用相似要明了得多.

二、构造全等三角形证明线段、角相等

三角形全等是几何图形中解决问题的常用方法，也是学生在解题过程中首选的方法.

例2 已知：如图3，AB = CB，AD = CD. 求证：∠A = ∠C.

分析 此图中，∠A与∠C不在同一个三角形内，不能使用等腰三角形性质――等边对等角解决问题，也没有线的平行等. 要证明∠A = ∠C，学生很自然想到全等三角形知识解决. 在教学当中，笔者也深刻感受这个问题对于学生没什么难度，他们的方法，全是连接线段BD，构造全等三角形，如图4. 通过证明ABD ≌ CBD，就可得到∠A = ∠C.

数学中很多问题的设计，我们都可以找到其原型，并通过改变相应的图形，构造我们常见的基本图形，将问题轻松转化. 只要学习中做个有心人，处处留意，你会发现，构造的过程就是一个快乐、智慧的数学思维过程.