浅谈单位圆在三角函数解题中的运用

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【摘 要】在高中数学的学习内容中，单位圆在三角函数的解题中扮演着十分重要的角色。在解题过程中，通过单位圆能够非常明显地看出任意角以及任意角的三角函数。然而学生在学习过程中，往往不能熟练运用单位圆去解决相关问题。对此，本文借助具体的实例，分别介绍了如何利用单位圆求三角函数式的值、比较大小、分析函数性质以及求解相关函数的单调区间，以供师生参考。

【关键词】单位圆;三角函数;解题;运用;数形结合

三角函数是高中数学的重要内容之一，它涉及了十分广泛的概念、公式以及解题方法，因此很多学生难以熟练地掌握三角函数的知识。而由于单位圆作为解决三角函数问题的重要工具，这就要求教师在教学的过程中要注意给学生讲解单位圆与三角函数的关系，让学生理解数形结合方法的重要性，促其利用该方法将复杂问题简单化，更深刻地理解三角函数的概念，并在解题过程中灵活运用单位圆这一工具，如此能够帮助学生自主探索三角函数的相关性质。

1利用单位圆求三角函数式的值

例1：在平面直角坐标系中，已知=（cos80°，sin80°）、=（cos20°，sin20°），则||的值为（ ）

A、 B、 C、 D、1

将题中所给条件用单位圆反映出来，如图1所示：

图 1

显然，A和B都是单位圆上的点，角AOB度数为60°，再由OA和OB相等，从而得出三角形AOB为等边三角形，所以得到向量AB的模长为1，答案是D。

2利用单位圆比较大小

例2：若0<α<β<，试比较β-sinβ与α-sinα的大小。

如图2所示，角α和β的终边交单位圆于点P和Q，单位圆和x轴交于点A，分别过点P、Q向x轴作垂线且交x轴于点M、N，再由点P向QN作垂线交QN于点R，所以我们能够得到角α的正弦值为PM，β的正弦值为QN;由AP、AQ的弧长分别为α和β，所以弧PQ长为β-α，β-sinβ就可以化为α-sinα+β-α-QR，显然β-α-QR是大于0的，因此能够得出：β-sinβ>α-sinα。

图 2

3借助单位圆分析函数性质

例3：求函数y=的值域。

该函数表示过点（2，2）和点（cosx，sinx）的直线的斜率，由于点（cosx，sinx）在单位圆上，因此该问题就转变为定点P与单位圆上的点（cosx，sinx）连线的斜率。

图3

根据图3我们能够得知，当直线PA、PB与单位圆相切时，斜率分别取得最大值和最小值，因此能够得出结论：KBP≤y≤KAP。然后我们设直线的斜率为k，那么直线的方程就能够表示为y-2=k（x-2），根据点到直线的距离公式，O点到PA、PB的距离为1，最后能够计算出k的两个值，分别为k的最大值和最小值，函数的值域就在这个区间。

4利用单位圆求解函数的单调区间

例4：函数y=在[0，π]上的单调递减区间为（ ）

A.（0，） B.（，π）

C.[0，π] D.[，]

该题中函数模型与例3中类似，也将其看成单位圆上的点M（cosx，sinx）和定点P（2，1）连线的斜率，如图4所示：

图4

当x在[0，π/2]区间内时，斜率k会随着x的增大而减小，因此此题答案应该选择A。

5结语

数形结合是数学领域中非常重要的解题思想和工具，根据题目所给条件画出图形，会拓展我们的思维，激发解题的灵感。单位圆作为解决三角函数问题的重要工具，同样要注意灵活运用数形结合法，熟练掌握单位圆的用法以及数形结合思想，将会使我们的数学能力有质的飞跃。

参考文献：

[1]陈润堂.单位圆在三角函数中的应用[J].课程教材教学研究（中教研究），2013，Z4：84-85.

[2]俞少华.单位圆在三角函数中的应用[J].数学学习c研究，2014，13：76.