一堂数学选修课的探究与思考

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针对高中《数学》选修教材“定积分概念”第一课时中的内容，从教学背景的分析、教学策略的选择、教学目标的确定、教学重难点分析、教学过程的设计、教学设计特点及评价等六个方面，谈谈我的理解和认识。

本课一方面让学生获得曲边梯形面积的求解方法，认识“一个和式的极限”这一数学模型，同时提高学生的运算能力；另一方面，通过“割圆术”的引入以及曲边梯形面积求法的探究过程，加强对分割思想、近似思想、极限思想的体验，为后续定积分的概念和几何意义的学习做好铺垫.

通过前面对导数知识的学习，学生对“逼近”的数学思想有初步的认识。从学生思维特点看，很容易把导数的几何意义、刘徽的“割圆术”与本节课知识联系到一起，但是在具体求曲边梯形面积的过程中，很难找到解决问题的方法和步骤，对求第i个小曲边梯形的面积有些困难，同时对“一个和式的极限”这一数学模型比较陌生.

笔者采用“引导探究式”的教学方式，在课堂教学贯彻“教师为主导、学生为主体，以问题为引领，探究为主线，思维为核心”的教学思想，通过图形和表格直观启迪学生的思维，注重数学思想的渗透。并从“求不规则图形面积”这个具体问题入手，让学生经历类比“割圆术”中运用的数学思想和方法的过程，观察、分析、发现规律，注重培养学生自主探究、动手实践、合作交流的能力，提高学生分析问题解决问题的能力。同时利用计算机辅助教学，通过观察几何画板中图形以及Excel表格中数值的变化情况，使学生直观感受到“逼近”的数学思想，同时鼓励学生利用课余时间用信息技术进行探索和发现，使信息技术真正为教学服务。

引导学生建立曲边梯形与圆形的关系，引导学生回顾分析圆面积公式的具体推导过程：将圆分成很多个小扇形，当分割无限变细的时候，用相应小三角形的边长“近似代替”小扇形的弧长，小三角形“近似代替”小扇形，利用公式计算出每一个小三角形的面积，用小三角形的面积和“逼近”小扇形的面积和，得出此面积即圆的面积的结论。通过分析小三角形，使学生感受“以直代曲”和“逼近”的数学思想；通过类比启发学生的思维，帮助学生找到新知识的生长点，用已知探求未知，获得解决问题的数学思想方法。

在解决问题的过程中，数学思想必须转化成可以操作的具体方法，才能真正发挥作用，所以还有必要引导学生具体分析解决问题的步骤。在求曲边梯形面积时，能否直接对曲边梯形进行“以直代曲”？追问：如何减小误差呢？引导学生初步体会“逼近”的数学思想：如果将曲边梯形分成若干个小曲边梯形，在每个局部小范围内“以直代曲”，那么就能减小误差，而且分得越细，误差就会越小。这样就得到了解决问题的第一个步骤：分割。

类比圆面积公式推导中用小三角形面积“近似代替”小扇形面积，如何理解对每个小曲边梯形 “近似代替”？引导学生以合理的方式进行“近似代替”，学生可能会提出多种“近似代替”的方案，鼓励学生说出他们的想法，帮助他们分析每种方法，指出当分割很细的时候，每种方案的误差都很小，从计算公式角度来看，矩形的面积公式最简单，由此确定“近似代替”的方案。同时鼓励感兴趣的同学课下探究其他“近似代替”的方案。

在课堂上利用几何画板直观演示小矩形面积和Sx逼近曲边梯形面积S的过程，使学生从几何角度直观感知面积的逼近过程。随后，请一位同学展示他所在小组课前做的Excel表格，使学生从数值上准确地看出Sx的变化趋势。通过这种方式，使学生从数与形两方面体会“逼近”的数学思想，认同“有限与无限的对立与统一”的辩证观点，有效地突破了教学的难点，使信息技术真正为课堂服务，成为提高课堂效果的有效手段。至此，得到解决问题的第四个步骤：取极限。为了进一步熟悉“一个和式的极限”这一模型，体会“以直代曲”，“逼近”的数学思想，可设计如下练习题让学生动手操作：求由曲线y=x2与直线（x=2，y=0），所围成的平面图形的面积S。

回顾本课所学习的知识，让学生通过小结，反思本节课的学习过程，加深学生对求曲边梯形面积方法的理解。师生共同提炼出本节课所学内容的精华：一个案例、两种数学思想、三套“以直代曲”的方案、四个解决问题的步骤。

本课采用“探究发现式”的教学方式，有如下突出的特点：从学生原有认知出发，类比圆面积公式推导方法，寻找到新知识的生长点，通过环环相扣的问题，结合学生的思维发展变化不断追问，使学生对问题本质的思考逐步深入；在确定“近似代替”方案时，设计了适合思维发散的教学环节，使探究活动贯穿整节课，让学生在思考的过程中深刻体会两种数学思想，有效地突出了教学重点；利用几何画板中的图形和Excel表格中数据展示小矩形面积和逼近曲边梯形面积的过程，使学生从数与形两方面直观感受到“以直代曲”和“逼近”的数学思想，从而突破了教学难点。（作者单位：南昌大学附属中学）