高考中的统计与概率问题

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【摘 要】本文对近年高考中对统计与概率问题考察的知识点进行了总结，结合2014年度全国新课程标准的部分高考试卷分析了部分重要试题。

【关键词】高考 统计与概率 知识点

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】1674-4810（2014）35-0137-02

现代社会是一个信息化的社会，人们根据所获取的数据提取信息，做出合理的决策，因此，概率与统计的基本思想和基础知识是公民的必备常识。近几年的高考加强了对数学应用问题的考查，而概率与统计的知识与实际的联系非常密切，是一个很好的载体，体现了数学的基础性、综合性、现实性及其广泛的应用性。

一 考点分析

概率是研究随机现象规律的学科；统计是研究如何合理收集、整理、分析数据的学科。

高考中经常考查概率的主要内容有：随机事件的概率、古典概率、几何概率、互斥事件的概率、对立事件的概率、独立重复事件的概率，以及取有限个值的离散型随机变量的分布列、均值、方差等。如2014年安徽卷的17题、湖南卷的17题、四川卷的17题、陕西卷的19题、重庆卷的18题等。经常考查统计的主要内容有抽样方法、排列组合、用样本估计总体、变量的相关性等。如2014年新课标全国卷I的18题、全国卷II的19题、江苏卷的6题、辽宁卷的18题、山东卷的7题、重庆卷的3题、湖北卷的4题等。近年来把统计和概率结合起来命题是高考考查的一个趋势。

二 试题分析

概率与统计试题是高考的必考内容，它以考生熟悉的实际应用问题为载体，突出了数学的应用性。解决概率统计问题的思路：将实际问题通过分析、概括、转化，构建数学模型，利用数学知识解决问题，从而使问题得到解答。下文选取2014年一些典型高考真题进行思路的分析和方法的归纳。

1.考查频率分布直方图、正态分布

（新课标全国卷I）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标，由测量结果得如下频率分布直方图：

求这500件产品质量指标值的样本平均数 和样本方差S2（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；由直方图可以认为，这种产品的质量指标Z服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数 ，σ2近似为样本方差S2。（1）利用正态分布，求P（187.8

附：

若Z～N（μ，σ2），则P（μ-σ

分析：（1）利用频率分布直方图，将组中值与频率相乘并累加求和计算平均数，再利用方差的定义求解方差。（2）根据所给条件，利用样本估计总体进行概率计算；利用二项分布的期望公式求解即可。解决概率问题时，一定要根据有关概念，判断是等可能事件、互斥事件、相互独立事件，还是某一事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的情况，选择正确的计算方法，全面考虑。

2.考查回归直线预测、估计

（新课标全国卷II）某地区2007至2013年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元）的数据如下表：

年代 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013

年份代号t 1 2 3 4 5 6 7

人均纯收入y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9

（1）求y关于t的线性回归方程；（2）利用（1）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入。

附：回归方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：

。

分析：（1）可先根据平均数的定义求出平均数 与 ，然后利用所给公式求出 ， ，代入线性回归方程即可。（2）由（1）中的方程可以知道2015年所对应的年代份号t=9，代入（1）中方程就可得到人均纯收入的预测值。解题中需重视对数据的分析、处理，计算时应讲究一定的技巧。

3.考查对立、相互独立、互斥事件概率

（安徽卷）甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数

多者赢得比赛。假设每局甲获胜的概率为 ，乙获胜的概率

为 ，各局比赛结果相互独立。（1）求甲在4局以内（含4

局）赢得比赛的概率；（2）记X为比赛决出胜负时的总局数，求X的分布列和均值（数学期望）。

分析：（1）考虑到所有满足“甲在4局以内（含4局赢得比赛）”的所有情况，即可能比赛2局、3局、4局，应用相应的概率公式进行计算；（2）找到能够使比赛决出胜负的X的可能取值，即2，3，4，5，求出相应取值时的概率，列出分布列，利用均值的公式求解。求离散型随机变量的分布列时要注意两个问题：一是求出随机变量所有可能的取值；二是求出取每一个值时的概率。求随机变量的分布列，关键是所求概率类型的确定与转化，如古典概型、互斥事件只有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率、n次独立重复试验有k次发生的概率等。

4.考查独立重复试验、分布列、数学期望

（四川卷）一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没出现音乐则扣除200分（即获得-200分）。设每次击鼓出现音乐的概率

为 ，且各次击鼓出现音乐相互独立。（1）设每盘游戏获得

的分数为X，求X的分布列；（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐得概率是多少？（3）玩过这款游戏的很多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了。请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因。

分析：（1）根据游戏规则确定每盘游戏可能获得的分数取值：10，20，100，-200，求出每一分数值对应的概率，列出分布列；（2）“玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐”意味着可能一盘、两盘或三盘出现音乐，若用相应的对立事件来计算则要方便很多，即没有一盘出现音乐；（3）根据数学期望的实际意义解决问题。求解此类问题的关键：利用两个计数原理、排列与组合内容，以及古典概型的概率公式求随机变量的概率；要求随机变量的分布列，需先求出其可能取值，然后求出每一个取值时的概率，即可得到随机变量的分布列；利用随机变量的数学期望与方差的定义进行计算与判断。

5.考查特征数、排列组合

（广东卷）从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取

七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为（ ）。

分析：十个数中任取七个不同的数共有 种情况，七

个数的中位数为6，那么只有6处于中间位置，有 种情况，

于是所求概率为两者之比，即 。本题注意“七”这一特殊

个数，求解就变得简单多了，倘若将本题中的“七”改为“六”，难度要大得多。

三 总结

高考概率题大都是以课本基础知识为载体，结合社会生产发展的需要，将基础知识拓展，使之成为立意高、有时代信息、贴近学生生活实际的问题。概率问题主要考查学生随机意识、概率观念以及统计思想，运用数学知识与方法提出问题、分析问题、解决问题的能力。要求学生了解信息社会，讲究理论联系实际，重视数学在生产、生活及科学中的应用；考查学生对语言的理解能力，要求考生能够从普通语言中捕捉信息，将普通语言转化为数学语言，以数学语言为工具进行数学思考与交流；引导学生深化数学的应用意识，对现实世界中蕴含的一些数学模型进行思考和做出判断。统计与概率部分知识应注意利用互斥事件的概率加法公式、独立事件的概率乘法公式、排列组合等方法计算随机事件、互斥事件、相互独立事件的概率。由于这部分概念较多，因此对概念的透彻把握是解题关键。此外，要充分应用分类讨论的思想，在概率问题的解决中注意分类的标准及分类的原则，要做到不重不漏。当分类讨论的类别较多时可以从事物的反面出发，利用对立事件解决问题，达到事半功倍的效果。