解题策略中归纳、演绎、类比及其特点分析

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【摘 要】面对不同的数学问题，解题策略也是多变的。本文主要分析解题策略中归纳、演绎、类比三种策略。

【关键词】数学解题策略 归纳策略 演绎策略 类比策略

【中图分类号】G642 【文献标识码】A 【文章编号】1674-4810（2014）35-0136-02

数学解题策略就是为了实现解题目的而确定的行动方针、方式和方法。与其他事物一样，数学解题策略有其内在的规律性，这个规律性表现在解题策略遵循着熟悉化、简单化、具体化及和谐化等策略原则。掌握好这些原则，会有利于解题策略的制定。面对不同的数学问题，解题策略也是多变的。本文主要分析解题策略中的归纳、演绎、类比三种策略。

一 归纳策略

归纳策略是从特殊到一般的一种考察对象、研究探索问题的思想，它符合人类认识的基本规律，也是数学研究和发现的重要方法。它分为完全归纳法和不完全归纳法。

当我们面对一个一般性的普遍命题，或研究某一对象集共同的性质时，由于没有从具体到抽象、从个别到一般的归纳过程作铺垫，往往造成数学解题的困难。这种情况下，我们常用的解题策略是归纳或称以退为进策略、特殊化策略，就是还原或补上从具体到抽象、从个别到一般这一归纳过程。先研究几个个别、较为具体的对象，先分析几种简单、特殊的情况，从中发现解决问题的途径。相应的具体做法表现为取值、枚举、递推、极端、试验、特殊化等（如例1）。

归纳策略的特点：（1）局部的合理性；（2）整体的不严密性。

例，过ABC的重心G作

一直线l，把ABC分成两部分，

求证：这两个部分的面积之差不

大于ABC面积的九分之一。

（如右图）

分析：先特殊，作EF//BC，再作任意直线MN，SEBCF-SMBCN=SEMD，SAMN-SAEF=SEMD，SEBCF-SMBCN+SAMN-SAEF=

2SEMD>0，所以SMBCN-SAMN≤SEBCF-SAEF= SABC。

故得证。

归纳与猜想是学习、解决数学问题行之有效的方法之一，它使复杂的问题简单化，抽象的问题具体化，从特殊问题中总结出一般规律。我们若对一些不熟悉甚至无从下手的数学问题进行有目的地观察实验、归纳、猜想常能得到一些有益的启发，为解决数学问题提供依据和方向。

二 演绎策略

与归纳法相反，有些数学题的具体情境、具体细节可能会掩盖更为一般的普遍规律，从而不利于发现数学规律。这时，我们可以把问题一般化，通过对整体性质或本质关系的考察，使原问题得到解决，这种策略称为演绎策略。

1.演绎法的类型

第一，公理演绎法的特点是大前提是依据公理（或公设）进行推理。

第二，假说演绎法的特点是以假说作为推理的大前提，它的一般形式可写为：

如果p（假说），则有q（某事件）；

因为q（或非q），

所以p可能成立（或p不成立）。

第三，定律演绎法是以某个定律或某种规律作为大前提的演绎法。作为演绎推理前提的规律包括有两类：一类是经验规律，另一类是普遍规律。

第四，理论演绎法，以某一理论为大前提，以在该理论范围内的确切事实为小前提的演绎称为理论演绎法。理论演绎法的一般形式如下：

大前提：有M理论在某一范围内是正确的；在此范围内规律P普遍适用。

小前提：假定事物S的行为受M理论的支配。

结论：则S的行为规律为P。

2.归纳与演绎的关系

主要区别：思维的起点不同，归纳推理是从特殊性到一般的认识过程；演绎推理是从一般到特殊性的认识过程。

相互联系：归纳与演绎，在人们的认识过程中是紧密联系着的，两者互相依赖、互为补充。演绎是一般性知识（大前提）的来源，来自于归纳推理概括和总结，从这个意义上说，没有归纳推理也就没有演绎推理。正如恩格斯指出：“归纳和演绎，正如分析和综合一样，是必然相互联系着的”。

例，比较 与 的大小。

分析：2= ，考虑函数f（x）= （x>0）。知f（x）

是凸函数，故有f（x1）+f（x2）≤ ，取x1=7，x2=8。

三 类比策略

类比是通过两类不同的对象A、B间的某些属性的相似，而A具有某种其他属性便猜想B也有这种属性。可见，类比是提出新问题和获得新发现的一条重要途径。

在数学解题过程中，常常需要借助类比，因为在将陌生对象和熟悉对象、未知规律和已知规律类比后，往往能达到启发思路、举一反三的效果，实现认识结构的迁移。通常采用的有规律类比、数形类比、形式类比等。

1.类比法的特点是“先比后推”

“比”是类比的基础，“比”既要比共同点，也要比不同点。对象之间的共同点是类比法是否能够施行的前提条件，没有共同点的对象之间是无法进行类比推理的。

2.类比的分类

按对象分类：个别性类比、特殊性类比和普遍性类比。按断定分类：正（肯定式）类比、负（否定式）类比和正、负（肯定否定式）类比等类型。按内容分类：性质类比、关系类比、条件类比等类型。按思维方向分类：单向类比、双向类比和多向类比等类型。

3.类比与归纳演绎的关系

类比之所以能“由此及彼”，是经过了一个归纳和演绎程序，即：从已知的某个或某些对象具有某情况，经过归纳得出某类所有对象都具有这种情况，然后再经过演绎得出另一个对象也具有这个情况，也就是“类推”。三者间是紧密相连的。

下面这个例子就很好地应用了类比策略。

例1，已知 ，求证： 。

分析1：类比联想到拆“1”，即：1=sin2α+cos2α。

即 ，通分，整理

得（cos2α-cos2β）（sin2α-sin2β）=0，即得cos2α=cos2β，sin2α=sin2β。

分析2：类比到椭圆方程，即点P（cos2α，sin2α），

Q（cos2β，sin2β）。在椭圆 上，过Q点的

切线方程为x+y=1，而P点又在x+y=1上，故点P与Q重合，即cos2α=cos2β，sin2α=sin2β。

4.应用类别应注意的问题

首先，不要受自己的研究对象和学科的限制，要大胆猜想、善于观察，从不同事物中观察它们的共同和相似之处，并追究造成这种共同和相似的原因。其次，善于联想。从一种方式方法联想到与其作用类似的其他方式方法；从一个概念或定理联想到与它关系比较密切的一串概念或定理。最后，类比常与归纳、演绎综合运用，另外它也离不开分析。归纳、类比和探索性演绎法通常是靠猜想与联想等心智运动串联起来的，因此必须自觉掌握创新性思维，并把它运用到实际的工作和学习生活中去。

参考文献

[1]朱华伟、钱展望.数学解题策略[M].北京：科学出版社，2009

[2]殷堰工编著.数学解题策略精编[M].上海：上海科技教育出版社，1994