解题善总结深研显模型(全文)

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1试题呈现

本校九年级数学月考试卷中有这样一道选择题：

题目如图1，四边形ABGH，四边形BCFG，四边形CDEF都是正方形.则∠ACH+∠ADH的值为（）.

A.45°B.60°C.75°D.90°

图1本题综合考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及勾股定理等核心知识.此题难度适中，运用数形结合、几何直观的思想得以解决.那么此类问题的深层结构是什么？能否举一反三？笔者愿以此文与各位同仁探讨.

2解法分析

我们知道，网格问题为几何直观提供了有效载体，而且，数学直观基于数学知识和经验的积累.基于这种思路，我们可设正方形的边长为a，然后运用数形结合的思想解决问题，这就是我们求解此题一种方法的“基石”.

因为四边形ABGH、BCFG、CDEF都是正方形.设边长为a，则BH=AB2+AH2=2a，BC=a，BD=2a.因为BCBH=BHBD=12，又∠HBC=∠DBH（公共角），所以HBC∽DBH，∠ACH=∠DHB.因为∠ACH+∠ADH=∠DHB+∠ADH=∠ABH=45°，所以选A.

3模型提炼

著名的数学家希尔伯特说过：“一个问题的解决意味着一系列新的问题的诞生.当我们解题成功时，不要忘记提出新的问题，因为还有许多宝藏尚未开发出来.”教师解题不能局限于低效的就题论题的解题习惯，教师若能深入领悟典型题目的编写意图，进行“一题多法的探索、一题多问的发散、一题多变的尝试、多题归一的收敛、多题归一的提炼”的二度开发，这本身就是对解法之间的联系、解题方法本质的深度挖掘，努力追溯问题背景及一般的结论，臻于知其然的化境.

3.1提炼原题结论

通过对上述解法再思考，进行猜想，可得到：

3.3拓展到一般

ξ侍獾囊话慊探究，不仅能透彻地揭示问题本质，为更具一般性的问题解决建立数学模型，还能让学生从中切实感受到数学化方法在揭示数学规律、解决实际问题中的独特魅力.

事实上，我们可以用三角函数公式，推广到一般情形：

设tanα=a，tanβ=b，则tan（α+β）=a+b1-ab.如果要想α+β=45°，可令a+b1-ab=1，经整理、变形，可得公式：（1+a）（1+b）=2.当取不同的a，b的值，可得到无数类似的公式.

特别地，当a=12，b=13，则∠α+∠β=45°，这就是图2、图3的基本图形.对于不同的角度，可以类似处理.

4模型应用

数学教学中要注重对数学模型的抽象与提炼，“模型”是学生学好数学的一种认知策略，在教学中充分利用“数学模型”，从不同角度去思考问题，引导学生会用联系的观点看问题，将相关知识点进行有机整合，串联起来，建立知识网络，形成数学建模能力.因此在解决问题之后，还要通过变化对象的非本质属性，来提高对数学知识的典型运用和迁移运用能力，丰富数学基本思想方法的体会，提高问题结构信息的识别能力和数学知识的合理选择能力，提高分析问题和解决问题的能力.下面采撷几道综合题，如何巧用上述模型解决问题，愿与大家分享、交流.

4.145°角为显性条件举例

例1如图4，直线y=34x+4交x轴于A点，将一块等腰直角三角形纸板的直角顶点置于原点O，另两个顶点M、N恰落在直线y=34x+4上，若N点在第二象限内，则tan∠AON的值为（）.

A.17B.16

C.15D.18

简解由题意易知，∠MNO=45°，又∠MNO=∠MAO+∠NOA=45°，有tan∠MAO=34和已证公式，求得tan∠AON=17，故选A.

求证：BF=2CF.

简解过点A作AHBC，交BC的于点H（如图8），则AH平分∠BAC，所以∠HAF+∠CAF=45°.因为tan∠CAF=tan∠DAE=DEAE=ADAB=12，所以由已证公式，求得tan∠HAF=13=HFAH=HFBH，进而证得BF=2CF成立.

例5已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=2，且与x轴交于A、B两点.与y轴交于点C.其中A（1，0），C（0，-3）.

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点P在抛物线上运动（点P异于点A）.

参考文献：

[1]叶纪元.解决一类中考题的利器：旋转、轴对称[J].中学数学教学参考（中旬），2013（6）：54-56.

[2]曹嘉兴.挖掘隐含结论提升解题能力[J].中学数学（下），2013（2）：63-65.

[3]沈岳夫.巧用45°特殊角妙解综合试题[J].中国数学教育（初中版），2011（7/8）：60-64.

[4]沈岳夫.点动图变细分类构圆探求助突破――2016年绍兴市中考压轴题最后一问的思路

突破与解后反思[J].中学数学（初中版），2016（10）：64-66.

[5]马先龙.与角平分线有关的一个结论的证明及其运用[J].中学数学杂志（初中版），2016

（10）：34-35.

①略；