数学拓展式习题课变式问题的教学策略
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【摘要】在数学拓展式课堂教学理念的指引下，数学习题课的教学方法也在不断改进、创新.运用“变式问题”教学，能促进学生学习的主动性的提高，有助于培养学生的创新精神和学生思维的深刻性.本文以相似三角形的一道习题的变式问题为例，教师通过合理运用三个变式，两个巩固练习的设计，说明拓展式数学习题课变式问题的教学策略.
【P键词】数学拓展式；习题课；变式问题；教学策略
自2016年4月起，山东师范大学第二附属中学在专家的引领下，确立了《初中数学拓展式课堂教学探索》的研究课题，现已全面进入实施探索阶段.
所谓数学拓展式课堂教学，是指教师依据数学课程标准和教学目标，整合、优化数学教学内容，深入挖掘数学思想方法，对数学知识、数学思维过程和方法以及数学文化进行适度的拓展和延伸，以优化教学过程，提升学生数学素养的教学活动.
数学拓展式课堂教学旨在丰富学生的数学视野，加强对数学教学内容的深入理解，在深度和广度上培养学生的数学探究意识和兴趣，建立科学的思维方法和探究方法，在提出和发现数学问题、分析与解决问题的能力上得到提高，促进学生均衡而有个性地发展，提升学生数学素养[1].
随着《数学课程标准》（2011年）的贯彻实施，如何全面提升学生的数学素养，已成为当前数学课堂教学改革与发展面临的重要课题.拓展式的数学课堂教学已成为数学课堂教学的重要组成部分，它不同于传统教学只注重知识的传授，而是从更高的层次对教师和学生提出了要求.
在数学拓展式课堂教学理念的指引下，数学习题课的教学方法也在不断改进、创新.数学拓展式习题课不应局限于一个狭窄的知识点的训练，应该是让学生对知识和技能初步理解与掌握后，进一步的深化和熟练，使学生在学习中学会运用所学的知识举一反三，应用数学习题“变式问题”的教学策略和方法是十分有效的手段.
所谓“变式问题”，就是指教师通过精选有价值的数学问题或精心设计问题情境，并有目的、有计划地对问题进行合理的转化[2].即教师可不断更换问题中的非本质特征；变换问题中的条件或结论；转换问题的内容和形式；配置实际应用的多种环境，但应保留好对象中的实质性因素，从而使学生掌握数学对象的本质属性.
运用“变式问题”教学，能促进学生学习的主动性的提高，有助于培养学生的创新精神和学生思维的深刻性.变式问题教学可以让教师有目的、有意识地引导学生从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”的本质中探究“变”的规律，可以帮助学生使所学的知识点融会贯通、拓展和延伸，从而让学生在无穷的变化中领略数学的魅力，体会学习数学和应用数学的乐趣.
分析根据已知易得ABM∽DCM，可得对应高BH与HD之比，易得MH∥AB，可得MDH∽ADB，利用对应边成比例可得比例式，把相关数值代入求解即可.
解答因为AB∥CD，所以ABM∽DCM，所以BHHD=ABCD=1015=23，（相似三角形对应高的比等于相似比），因为MH∥AB，所以MDH∽ADB，所以MHAB=DHBD=35，所以MH10=35，解得MH=6.
答：点M离地面的高度MH为6m.
点评本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应边成比例的性质，利用BHBD+DHBD=1是解题的关键.
此题证明三角形相似的前提条件是AB∥CD∥EF，而本题该条件的获得是依靠AB、CD、EF都与BD垂直，所以本题的条件可以放宽为AB∥CD∥EF.于是有下面的变式练习：
图2变式1如图2，F在BD上，BC、AD相交于点E，且AB∥CD∥EF，若AB=2，CD=3，则EF=.
分析利用比例的性质以及相似三角形的性质进而求出BEBC=EFCD=25，求出EF即可.
解答解：因为AB∥CD∥EF，所以BFE∽BDC，AEB∽DEC.因为AB=2，CD=3，所以ABCD=BEEC=23，所以BEBC=EFCD=25，所以解得：EF=65.
故答案为：65.
点评此题主要考查了比例的性质以及相似三角形的判定与性质，正确把相似三角形的性质是解题关键.
题目条件放宽为AB∥CD∥EF后，图形在变化的过程中，AB，CD，EF三条线段的长度在不断的变化，但三条线段BF，DF，BD之间满足关系BF+DF=BD，那么这一关系会不会导致AB，CD，EF之间产生特殊的关系呢？为了培养学生的探究精神，激发学生的学习兴趣设置了下面的变式练习2：
（1）求钢索AD和钢索BC的交点E处离地面的高度.
（2）若两电线杆的距离（CD的长度）发生变化，点E离地面的高度是否随之发生变化？说明理由.
解答（1）作EFCD于F，因为ACCD，BDCD，所以AC∥BD∥EF.所以DEF∽DAC，CEF∽CBD，所以EFAC=DFDC，EFBD=CFDC.所以EFAC+EFBD=DFDC+CFDC=DF+CFDC=1.因为AC=30，BD=20，所以EF30+EF20=1，解得EF=12（m）.即钢索AD与钢索BC的交点E离地面的高度是12m.
（2）若两电线杆的距离（CD的长度）发生变化，点E离地面的高度不发生变化.
因为从（1）中可知，CD为任意长时总有：EFAC+EFBD=1，EF（1AC+1BD）=1.所以EF=AC・BDAC+BD.
故EF的长度与CD的长度无关.
通过这一个变式题的练习，学生体会到EF的长度与AB与CD之间的距离无关，为了进一步的探索线段AB、CD、EF之间的本质关系设置变式练习3：
分析前面已证EFAB+EFCD=DFDB+BFDB=1.等式两边同时除以EF可得1AB+1CD=1EF.
解答因为AB∥CD∥EF，所以DEF∽DAB，BEF∽BCD，所以EFAB=DFDB，EFCD=BFDB，所以EFAB+EFCD=DFDB+BFDB=1.所以1AB+1CD=1EF.
通过这一变式练习，学生发现AB，CD，EF三条线段之间的数量关系，进一步深化了对三者之间关系的认识，抓住了三者之间的本质联系.为了巩固认识，熟练知识，设置了下面的巩固练习：
巩固练习
A.aba+b米B.a+bab米
C.a+b2米D.跟m的值有关
图6综上所述，教师通过精选一个问题，在课堂教学中合理运用三个变式，两个巩固练习的设计，进行拓展式教学，学生对这一问题的认识逐渐提高，思维的深度和广度逐渐加深，既提升了对图中线段关系的认识，又提升了数学思维的品质、领略了数学的魅力，从而激发了学生数学学习的热情和兴趣.
在数学拓展式课堂教学理念指导下，传统的数学习题课的课堂教学也将会迎来新的变化.教师要不断更新观念，精心设计问题，因材施教，继续完善好数学拓展式习题课“变式问题”的教学模式，最终达到提高习题课教学质量的目的，并为学生学好数学、用好数学，全面提升学生的数学素养打下良好的基础.
参考文献
[1]傅海伦，权奎，孟庆玲，刁桂兰.数学拓展式课堂教学及案例分析[J].中学数学杂志.2016（8）：14-17.
[2]傅海伦，贾冠军.数学思想方法发展概论[M].济南：山东教育出版社，2009：236.
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