一题多解与多题一解

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摘 要：吕增锋老师在2010年第10期上旬的《中学数学教学参考》中发表的文章《“一题多解”是“亮点”还是“败笔”》 中说：“一题多解应该关注考纲和考试说明，关注学生的‘学情’，关注解法的选择”。最终化为多解归一，升华为多题一解。这一点笔者感触颇深。

在高中数学教学中贯彻“一题多解”与“多题一解”的思想，其作用是培养学生的数学思维，在日常教学中应教学生掌握基本的解题模式和方法，形成必要的解题技能，使其掌握一定的探索数学问题的工具

关键词：创新能力；解题模式；一题多解；多题一解

中图分类号：G642 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2014）17-007-02

时代在变迁，教育在进步，理念在更新。前两年提出考试要改革，于是一批批探索性、开放性和应用性试题不断涌现；如今又提出课程要改革，有了《课程标准》，其中突出了学生自主探索的学习过程，强调应用数学和创新能力的培养，鼓励教师创造性教学。 面临崭新的教育形势，我们会思考这样的问题：教学如何从静态转为动态？怎样指导学生独立分析问题、解决问题，形成有效的学习策略？等等。我在家教过程中，对这些问题作过一些深思和尝试，其中较突出的是引导学生进行一题多解和多题一解的训练。

下面，我提出几个实例来分析其引导过程与方法，仅供参考。

一、一题多解

在数学教学中通过一题多思，一题多解，一题多讲，可以巩固学生知识，训练学生思维，开拓学生视野。用多角度去看一道题，强化思维的连贯性，知识的衔接，能全面利用所学知识解决实际问题，培养学生对知识的活学活用有重要帮助。

1、 如以下例题是笔者在家教过程学生做的填空题

【题目1】某次考试有30道判断题，每做对一道题得4分，做错一题扣2分，某人得96分，他做错了几道题？

【方法一】代数法。4×做对的题数-2×做错的题数=96，做对的题数+做错的题数=30。由两个式子即可得到做错的题数。

刚开始我家教的学生很快就用这种方法得出结果，确实，这种方法直接根据题意列出方程再解就可得到结果，是最直接的方法。但后来在我的引导下，学生更深入一层采用了方法二。

【方法二】做对一道可得4分，若做错扣2分，这一正一负差距就变成了6分。30道题全做对可得120分，而现在只得96分，意味着差距为24分，用24÷6=4即可得到做错的题。

【方法三】对的题数与错的题数的比 [96÷（30+2）]：[4-（96÷30）]=26：4，则做错的题数为30÷（26+4）×4=4题。

其中方法三最简便，但过程较难想到，需学生极其灵活的头脑去发掘，可能还有其他一些更简便的方法，以上方法只是笔者在家教中思考出来的，仅作参考。

又如以下的例题：

【题目2】已知x，yR+ 且1x +9y =1，求x+y的最小值。

【方法一】“1”的妙用

1x +9y =1

x+y=（x+y）（ 1x +9y ）=10+yx +9xy ≥10+6=16

（当且仅当yx =9xy 即x=4，y=12时，等号成立）x+y的最小值是16

这种方法需学生平时练习有一定的题感和积累，懂得从1入手

【方法二】

换元后构造均值不等式

由1x + 9y =1得y= 9+ 9x-1 （x1）

x+y= x+9+ 9x-1 = 10+ x-1+ 9x-1 ≥10+6=16

（当且仅当x-1= 9x-1 即x=4时等号成立）

x+y的最小值是16

这种方法应是学生较熟悉的，但需注意的是在用均值不等式时，为了消去未知量，我们构造了x-1，这也是该方法的一个灵活点。

【解题误区】

可能很多学生一拿到题目就会像下面的方法一样求解，我家教的学生开始也是按下面的方法解题的

x，yR+

1=1x + 9y ≥6 xy （1）

（当且仅当1x = 9y 即y=9x时等号成立）

xy ≥6

又x+y≥2xy （2）

（当且仅当x=y时等号成立）

x+y≥12

即x+y的最小值是12

显然结果与前面算得的不一样，那是这个方法有问题？

答案是显然的，虽然推导的过程无误，但是学生没有注意到（1），（2）两个式子的等号不能同时成立，从而得出错误的结论。所以在解题过程中一定要瞻前顾后。

以上涉及的方法都是学生学过且应掌握的方法，通过一道例题的分析与解答，可以同时复习多种方法。通过这些方法，可锻炼学生多方面的思维能力，同时复习以前学过的方法，温故知新。这也是教师们一直强调一题多解的好处。但知识是静态的，思维是活动的；习题是固定的，而它的变化却是无穷的。我们可通过很多途径对课本的例、习题进行变式。改变题目后，可能思想方法不变，但解题方法却不能生搬硬套，所以学生需锻炼自己的思维能力。

二、多题一解

一题多解对锻炼学生思维与解题的灵活性固然有很多益处，但教师在教学中也应注意要一题多解，多解归一，从而提炼出解决多道同类题目的方法，形成多题一解。

诚然，通过“一题多解”训练，可培养学生根据不同的思路，应用不同的基础知识，采取不同的数学方法，灵活解答同一个问题的能力。然而，目前大多数学生基础较差，看到题目首先联想到的是类似题目的一种通解或通用的解题模式。多题一解就是利用这种心理，以通用模式套各种类似的题目，减轻学生的负担，且可以训练学生化归的思想，同时它对培养学生规范地书写解答题的解题过程也是一次强化性训练。下面通过一题多变的分析过程说明多题一解的益处。

【原题】已知，如图，AB是O的直径，CD是弦，AECD，垂足为E，BFCD，垂足为F， 求证：EC=DF.

【变式一】已知AB是O的直径，CD是弦，AECD于E，BFCD于F，BF交O于G，下面的结论：1.EC=DF；2.DE=CF；3.AE=GF；4.AE+BF=AB中，正确的有（ ）

A.1、4 B.2、3、4 C.1、2、3 D.1、2、3、

【变式二】把直线EF和直径AB的相对位置加以变化，即图形变化，条件和结论不变，便得新题。

【变式三】把直线EF和圆的位置关系由一般的相交变为相切，即图形特殊化处理，原题可以引申为：如图，直线MN和O切于点C，AB是O的直径，AC是弦，AEMN于E，BFMN于F，

（1）求证：AC平分∠BAE；

（2）求证：AB=AE+BF；

（3）求证：EF2 = 4 EA BF

题目可以千变万化，仅会一题多解是不够的。所以，学生要学会灵活变动，随着题目的变化，解题思维也随着变动，只要学生掌握它的精髓，达到多题归一的境界，则可解一道题懂一类题，提高效率，激发学习兴趣、创新意识和探索精神，培养创新能力，学会学习。

像这种一题多解与一题多变的题例，在教学中，如果有意识去分析和研究，是举不胜举的。拿到一个题目，如果深入去分析、解决与反思，必能以一当十、以少胜多。培养学生各方面技能，特别是自主探索，创新思维的能力，也就无需茫茫的题海了。教学是为了让学生学会看到一道题就想到一类题，想到相应解法，才是正道。所以教师要不断从这方面入手教学，通过一题多解，到一题多变、多题归一，最后整理总结，得到多题一解，让学生在紧张的做题过程中，看到一道题就知道怎么解。

以上几题虽各有特点，所给条件不同，但不变的是都是求和。所以在求解过程中，总的原则是要善于观察数列的形式，灵活改变原数列的排列结构，使其能进行消项或能用等差或等比数列的求和公式及其它已知的基本求和公式来解决，只要把握这一规律，就能使数列求和化难为易。总之，求和的一类题目，只要掌握等差与等比数列的求和公式，并灵活变动，便都可解决。

对比反思

一题多解是训练学生求异思维很好的教学方法，然而，仅停留在一题多解的层面上是远不够的，即让学生的思维无限发散，不注意收，不及时归纳总结方法，多解归一，加深学生对问题本质的理解，将不利于学生对数学思想方法的掌握与应用。

笔者认为，在数学教学中，培养学生创新思维能力的途径是多渠道的，而让学生学会一题多解与多题一解更是培养学生创新思维能力的有效途径之一。

参考文献：

[1] 谈谈“多题一解”，汪孝培，数学教学通讯，1981 （04）

[2] 一题多解与多题一解，倪春雷，新课程（上），2011（10）

[3] 浅谈高中数学多题一解 ，陈绪进，中学数学，2011（ 21）