浅谈中学数学解题中运用构造法

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【摘 要】在中学数学的解题中运用构造法是相对于直接计算的方法来说更加简便的一种计算方法。所谓的构造法就是通过对所要作答的数学题目进行深入的研究和分析，发现它所具有的内在联系和规律后运用已知的各种数学知识给原题目构造一个数学模型，这个模型与原本的题目息息相关，可以替代原题目给我们解答，因此我们就把本来比较难的题目转换成了比较简单的题目。在中学数学中运用构造法解题是一种很简便又好用的方法。

【关键词】中学；数学解题；构造法

因为构造法给解题带来了很大的便利，只要运用巧妙的话可以大大节省解题所要花费的时间，同时又可以提高答题的准确度，对于中学生来说是一种很好用的方法，对于老师来说也是一种能很好的培养学生思考能力的方法，所以构造法在中学数学解题中经常会被使用到。因此今天就来谈谈在中学数学解题中一般都是如何来运用构造法解题的。

一、运用构造法的一般步骤

需要使用构造法进行计算和解题的数学问题一般都是因为其问题本身要解决所需要的充分条件不容易获取或者是需要较复杂的方法多步解题，所以过程十分繁琐，费时费力且很容易在解题的过程中出现错误，因此利用各种数学知识之间的联系或者说是相似的地方进行再创造，创造出一个特定的专门用来解决这个问题的模型，可以说构造法是一座桥梁，让我们可以快速的从所给的条件到达题目问题的解答处。一般来说使用构造法的步骤是先仔细读题，把题目中所给的条件都列出来，再把问题提出来，并且根据问题对题目的条件进行深入的分析，考虑这些条件对解题的帮助，设想解题的过程以及缺少的条件。其次是做出辅助的元素像是辅助线或者是假设条件，然后就可以进行推算和演变，将条件向解决问题转变，求出新的结果，并最终解答出原本的题目的问题。

二、中学数学解题中构造法的应用

（一）构造方程以及方程组

在中学数学题目中有时会碰上这样的题目，题目中已经出现了一定的数量关系以及和结论有关的一些特征，而我们就可以根据这些条件构造出一个新的方程或者是方程组，并且通过这个方程来帮助我们将原本的问题转换从而解决这个问题，帮助我们完成题目要求。例如在题目中有实数X、Y、Z满足两个方程X=4-Y，Z2=XY-4，求证X=Y。在这个题目中我们可以将原本的方程进行转化，将等式右边的已知量移到等式的左边，这样的话就构成了两个新的方程但是又没有破坏题目原本给我们的条件，得出来的两个方程分别是X+Y=4，XY=Z2+4，明显可以看出这两个方程是一元二次方程的两根之和及两根之积，从而可以利用这个条件构造一个一元二次方程，通过解一元二次方程就可以知道X=Y是否成立了。

（二）构造图形

除了可以构造方程以外，我们还可以构造图形，而构造图形一般是在代数问题中使用，因为有的代数问题求解十分麻烦，但是若是这些问题条件中有较明显的几何规律的话就有很大的机率可以将它转换成图形来帮助我们解题，当然这个时候也需要我们对于几何图形的知识像是性质以及意义有一定的了解。同样的我们在这里简单的举一个例子来看，已知范围在0～之间的三个角度θ1、θ2、θ3满足条件cos2θ1+cos2θ2+cos2θ3=2，要求我们证明cosθ1+cosθ2+cosθ3≥3。这道题目有一个非常明显的几何规律，那就是从条件cos2θ1+cos2θ2+cos2θ3=2可以联想到过长方体一顶点的一条体对角线与过该点的三个面所成的角度的余弦值的平方和等于2，由此我们可以将这道题目转化为与几何模型长方体有关的一道题目，从而方便我们解答。

（三）构造实际模型

有时候也会有些题目让人摸不着头脑，觉得非常抽象而不知道怎么去解答，这个时候就可以反其道而行，在生活中找到原型，将抽象的问题具体化、简单化，这样就可以帮助我们更好的理解题目的意思，也能更简便快速的解题。像是求组数的问题，给了一个方程是x1+x2+x3=10，要求它的非负整数解的组数。乍看一下令人对题目的要求模糊不清，所以会无从下手，但是经过我们的构造可以将它构造成实际生活中的模型来看待，像是这道题目，可以看成是有10颗小球需要分给3个人，问我们有几种不同的分法。显然经过我们的构造题目以及变得非常的简单明了了，这个就是我们使用构造法的目的，也是构造法在中学数学解题中被频繁使用的原因了。当然中学数学解题中运用构造法的例子不仅仅只有这些，像是通过构造函数，构造向量，构造公式等等方法，它具有很大的灵活性和技巧性，有时候同一道题目也可以用不同的构造法来解题，而且对于学生来讲它打破了解题的固定思维，帮助学生培养观察力和解决问题的能力。

三、应用构造法解题时的注意点

学习构造法时我们也要注意一些问题，例如若是题目中原本就有可以进行构造的表现，应该鼓励学生去进行构造创造，如果题目中没有进行构造所需要的一定因素就考虑其他的方法来解题。因为构造发并不是万能的，虽然构造法十分好用，但是如果题目本身无法进行构造的话，强行使用构造法并不能帮助我们解决题目，因此要先积极仔细的分析每种构造方法的本质问题，明白哪种题目哪种提问方式是需要进行构造法的，多多积累经验帮助我们分析。其次作为教师需要先积极的去研究各种构造法的例子，用来引导和帮助学生学习理解和掌握构造法的典例。

四、结语

构造法是在中学数学中运用了模型方法而产生的一种解题方法，同时也是数学知识和思想方法的多种结合运用，像是数形结合的思想方法，方程的解答思想或者说是函数的思维方式等等，都可以在构造法中进行综合的运用并最终帮助学生解答出问题。当然构造法不仅仅是帮助学生解决了数学问题，同时也锻炼了学生的创造能力和观察、分析、联想和转化问题的能力。

【参考文献】

[1]刘浏，袁拥军.例谈运用构造法求取值范围[J].数学教学研究，2003（10）

[2]孙恒臣，张宪铸.构建函数的常见方法[J].中学数学，2004（19）

[3]刘康宁，党效文.三角恒等变换及其应用[J].数学通讯，2007（08）

【作者简介】

连英（1969.10-），女，籍贯：宁夏西吉，最高学历：大学，职称：中学一级，研究方向：中学数学教育。