关于线性代数的几个易错点分析

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【摘要】 本文结合几道典型的线性代数例题，针对学生在学习中的几个易错点进行详细的分析和研究，并进行总结和归纳.

【关键词】 线性代数；范德蒙德行列式；行阶梯形；行最简形

线性代数是大学生必修的一门公共基础数学学科，这门课的特点是公式多、式子大、符号繁，对相当一部分学生来说入门难，学起来困难较多.下面就学生容易出错的地方做一分析.

乍一看，没有错，但仔细分析后发现，在运用范德蒙德行列式计算该题时，公式中是后项减前项的乘积，而不是前项减后项的乘积. 正解 由范德蒙德行列式

有人会认为，两种做法过程不同，但结果相同，没必要过多追究这个细节.

但是看这个题： 1 1 12 4 54 16 25

（1） 1 1 12 4 54 16 25 =（2-4）（2-5）（4-5）=-6.

（2） 1 1 12 4 54 16 25 =（4-2）（5-2）（5-4）=6.

两个过程得到的结果刚好相差一个负号，这是怎么回事呢？

下面证明一下这个结论.

证明 用数学归纳法进行证明.当n=2时，

所以当n=2时（）式成立.

现在假设（）式对n-1阶范德蒙德行列式成立，下证（）式对n阶范德蒙德行列式也成立.

2.一个非零矩阵的行阶梯形与行最简形有什么区别与联系？

答：首先，任何一个矩阵都可经过有限次初等行变换化为行阶梯形和行最简形；

其次，行最简形一定是行阶梯形，但行阶梯形不一定是行最简形.其区别在于，行最简形需在满足行阶梯形的基础上增加两条：（1）非零行的首非零元为1；（2）首非零元所在列的其他元素为零.

3.在求解关于矩阵 A 的问题时，什么时候只需化为行阶梯形，什么时候需化为行最简形？

答：一般情况下，在求矩阵 A 的秩和求矩阵 A 的列向量组的最大无关组时，需要把矩阵 A 化为行阶梯形.用初等行变换求矩阵 A 的逆、求矩阵方程 A X= B 、求解线性方程组的通解或基础解系时，需要把矩阵 A 化为行最简形.

例如，解线性方程组

在线性代数这门课的学习过程中，若仔细体会某些基本知识点，虽有一字之差，但含义却相差甚远.因此，在学习这门课时一定要足蛳感摹⒆愎蝗险娌判.

【参考文献】

[1]同济大学数学系，工程数学，线性代数，第六版[M].北京：高等教育出版社，2014.

[2]胡显佑.线性代数[M].北京：高等教育出版社，2008.

[3]赵树.线性代数（第3版）[M].北京：中国人民大学出版社，2004.