关于李代数中几个结论的详细证明

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摘要：本文较为详细的证明了李代数中的三个结论。

关键词：根系 素根 正根 反射

美国数学家J.E.汉弗莱斯（J.E.Humphreys）的《李代数及其表示理论导引》是一本经典的李代数教材。此书中作者用最新的成果处理了李代数的经典理论（包括半单纯李代数的分类定理，同构定理与存在定理）；用初等的李代数方法证明了嘉当（Cartan）子代数的共轭定理；用公理化的方法处理了根系和权的理论。作者在书中着重介绍了半单纯李代数的表示理论。本文较为详细的证明了该书中的三个没有给出详细证明的结论，整理如下：

定理1 每一个β∈Φ+都可以写成α1+α2+...+αk（αi∈，并且不必各不相同）的形式，使得每一个部分和α1+α2+...+αi是一个根。

定理2 令则σα（δ）=δ-α对所有的α∈成立。

定理3 若σ=σ1σ2...σt是把σ∈W表示成与素根相对应的反射的表达式，并使得t最小，则

本文中Φ表示欧式空间E内的秩l的根系，具有Weyl群W。Φ+表示正根集，Φ的子集是基，是素根组成的集合。下面给出证明中要用到的定义及引理。

定义1 欧式空间E内的一个子集Φ，如果满足以下公理，就被称为E内的一个根系：

（R1）Φ是有限的，它张成E，且不含0.

（R2）若α∈Φ，则α在Φ内的仅有的倍数是±α。

（R3）若α∈Φ，则反射σα（σα是可逆线性变换，σα（β）=β-α，（，）表内积）使Φ不变。

（R4）若α，β∈Φ则=定义2 设Φ是E内的根系。称l =dimE为根系Φ的秩。用W表示由反射σα（α∈Φ）所生成的GL（E）的子群。由（R3），W把集合Φ作了一个置换。由（R1），Φ是有限的，且张成E，这就允许我们把W等同于Φ上对称群的一个子群，从而W是有限的。W被称为Φ的Weyl群。

定义3 Φ的一个子集若满足以下条件，则被称为基：

（B1）是E的基，

（B2）每个根β可写成 并且具有全正或全负的整系数kα。

定义4 内的根称为素根。据（B1），Card=l ，且（B2）中的β的表示式是唯一的。这使得我们能定义根（关于的）高为

若所有的kα≥0（或所有的kα≤0），就称β为正根（或负根）。且记为 d（关于的）正根与负根的集合通常记为Φ+或Φ-（-Φ+=Φ-显然），素根是正根，因为素根α=α，系数为1，全正，α∈。

引理1 若α是正根但不是素根，则有某个β∈，使α-β是一个根（必定是正根）。

引理2 设α是素根，则σα把异于α的正根作一置换。

以下给出三个定理的详细证明。

定理1的证明：由于β是正根但不是素根，根据引理1，存在某个α∈，使β-α是一个正根。又由基定义中（B2）有

（αi∈并且不必各不相同）。这样有

（αi∈这里αi不必各不相同），即定理前面部分是成立的。

下面证明定理后面部分，即每一个部分和α1+α2+...+αi是一个根。对htβ施行归纳法来证明：

htβ=1时，β=α1是一个根命题成立。假如对所有htβ

事实上，由β=α1+...+αk-1+αk，β∈Φ+但不是素根，由引理1，存在αi∈，使β-αi∈Φ+。再由前段所证明的，β-αi∈Φ+也可以写成α1+...+αs的形式，也即是说β-αi=α1+...+αs，由基定义中（B2），β的表达式 是唯一的（因为kα全为正或全为负，故不存在加一项再减一项与原来相等的不同表达式）。移项后得到

即是说由唯一性可知，αi是α1，α2，...，αk中的一个，故

显然ht（β-αi）

定理2的证明：由于是可逆线性变换，有

因为α∈，α是素根并且是正根，由引理2得到，

又因为σα（α）=-α，得到

其中α是素根并且是正根，再得到

证毕。

定理3的证明：σt=σ1σ2...σt，由t的最小性导致σ1，σ2，...，σt各不相同（因为反射如果有两个相同，则σi2（αt）=αt）。反射σα是可逆线性变换，由σα（β）=β-■α得到σα（α）=-α，这样可以得到

又因为αt是素根并且是正根，由引理2，可以得到-σα1σα2...

σ其中为正根，。即是说为负根，也即，证毕。

参考文献：

[1]孟道骥.复半单李代数引论[M].北京大学出版社，1998.

[2]苏育才等.有限维半单李代数简明教程[M].科学出版社，2008.

[3]J.E汉弗莱斯.李代数及其表示理论导引.上海科技出版社，1981.