关于数论函数方程?(?(n))=S(n)

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On the Arithmetic Functional Equation ?渍（?渍（n））=S（n）

Pan Lijing

（College of Mathematics and Information Science，Weinan Normal University，Weinan 714000，China）

摘要： 对于任意正整数n，设?渍（n）和S（n）分别是关于n的Euler函数和Smarandache函数。本文利用初等及分类讨论的方法，研究并得到了方程?（?（n））=S（n）的所有正整数解。

Abstract: For any given positive integer n, set ?渍（n） and S（n） are the famous Euler function and Smarandache function. This paper researched the solutions of the equation ?渍（?渍（n））=S（n） using the elementary method and classification discussion method, and obtained all the positive integer solutions.

关键词： Euler函数 Smarandache函数 方程的解

Key words: Euler function；Smarandache function；solutions of the equation

中图分类号：G42文献标识码：A文章编号：1006-4311（2011）27-0170-02

0引言

对于任意正整数n，设?渍（n）和S（n）分别是Euler函数和Smarandache函数著名的Smarandache函数。S（n）定义为最小正整数m使得nm!，即S（n）=min{m∶m∈N，nm!}。对于任意正整数n，?渍（n）表示不大于n且与n互素的正整数的个数。关于包含Euler和Smarandache函数的方程，很多学者都进行了研究，如文献[1-5]。本文利用初等的方法解决了?渍（?渍（n））=S（n）的求解问题。即证明了：

定理1方程?渍（?渍（n））=S（n）的所有正整数解为：n=1，24，32。

1若干引理

引理1[1]Euler函数为积性函数，即有对于任意互素的正整数m和n，则有?渍（mn）=?渍（m）?渍（n）。

引理2[2]当n>2时，则必有2?渍（n）。

引理3[3]对于素数p和正整数k，有S（pk）?燮kp。特别地，当k

引理4[4]当n?叟6时，?渍（n）?叟■。

2定理的证明

对于方程

?渍（?渍（n））=s（n）（1）

当n=1时，S（1）=1，?渍（?渍（1））=1，?渍（?渍（1））=S（1）=1。故1是（1）式的解。

下面讨论n>1时的情况：

设n>1且n=p■■p■■…p■■是正整数n的标准分解式，则

S（n）=maxS（p■■），S（p■■），…，S（p■■）=S（p■）（2）

由引理1知

?渍（n）=?渍（p■）?渍■=p■（p-1）?渍■（3）

由（1）-（3）式得

?渍p■（p-1）?渍■=S（p■）（4）

（。┑r=1时，代入（4）得

?渍（p-1）?渍■=S（p）（5）

①若p=2，则有?渍?渍■=S（2）=2，故?渍■=3，4，6。

当?渍■=3时，与引理2矛盾，该情形舍去。

当?渍■=4时，有■=5，8，10，12，此时有n=10，16，20，24。

当n=24时，S（24）=4，?渍（?渍（24））=4，故24是（1）的解。同理验证可得，n=10，16，20不是（1）式的解。

当?渍■=6时，有■=7，9，14，18，此时n=14，18，28，36。带入（1）式验证得，n=14，18，28，36不是（1）的解。

②当p?叟3时，?渍（p-1）?渍■=S（p）=p，p是奇数，与引理2矛盾，故（1）式无解。

（）当r=2时，代入（4）得

?渍p（p-1）?渍■=S（p2）（6）

①若p=2，由（6）知，?渍2?渍■=S（4）=4，故2?渍■=5，8，10，12。

当2?渍■=5，10时，与引理2矛盾，故舍去。

当2?渍■=8时，则?渍■=4，■=5，8，10，12。故n=20，32，40，48。

当n=32时，S（32）=8，?渍（?渍（32））=8，故32是（1）的解。同理验证知，n=20，40，48不是（1）式的解。

当2?渍■=12时，则?渍■=6，■=7，9，14，18，则n=28，36，56，72。带入（1）式知，n=28，36，56，72不是（1）式的解。

②若p=3，由（6）知，?渍6?渍■=S（32）=6，故6?渍■=7，9，14，18，与引理2矛盾，故（1）式无解。

③当p?叟5时，同理可证（1）式无解。

（＃┑r=3时，代入（4）得

?渍p2（p-1）?渍■=S（p3）（7）

①若p=2，由（7）知，?渍4?渍■=S（8）=4，故4?渍■=5，8，10，12，

当4?渍■=5，10，12时，与引理2矛盾，故（1）式无解。

当4?渍■=8时，?渍■=2，则■=3，4，6，故n=24，32，48。

当n=24，32时，由以上计算知，24，32是（1）式的解。

当n=48时，S（48）=6，?渍（?渍（48））=8，故n=48不是（1）式的解。

②若p=3，由（7）知，?渍18?渍■=S（27）=9，与引理2矛盾，故（1）式无解。

③若p?叟3时，S（p3）=3p，3p是奇数，与引理2矛盾，故（1）式无解。

（ぃ┑r=4时，代入（4）得

?渍p3（p-1）?渍■=S（p4）（8）

①若p=2，由（8）知，?渍18?渍■=S（24）=6，故8?渍■=7，9，14，18，与引理2矛盾，故（1）式无解。

②若p=3，由（8）知，?渍33×2?渍■=S（34）=9，与引理2矛盾，故（1）式无解。

③若p?叟5，由（8）知

?渍p3（p-1）?渍■=S（p4）?燮4p

由引理4

?渍p3（p-1）?渍■?叟■=p■即4?叟■，这与p?叟5矛盾，故（1）式无解。

由以上分析计算可得，当r?叟5，p?叟2时，同理计算可推得（1）式无解。

综上所述可得，方程?渍（?渍（n））=S（n）的所有正整数解为n=1，24，32。

参考文献：

[1]华罗庚.初等导论[M].北京:科学出版社，1979.

[2]郑涛.关于数论函数方程[J].中国科教创新导刊，2009，（02）.

[3]Lu Yaming. On the Solutions of an Equation Involving the Smarandache Function[J]. Scientia Magna，2006，2，（1）:76-79.

[4]维基百科./wiki/%E6%AC%A7%E6%8B%89%E5%87%BD%E6%95%B0.

[5]张文鹏，李海龙.初等数论[M].西安:陕西师范大学出版社，2008，12.