浅谈拉普拉斯Laplace变换及其应用
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摘 要：拉普拉斯变换是由复变函数积分引导出的一个非常重要的积分变换，它在应用数学中占有很重要的地位。本文从拉普拉斯变换的定义出发，结合拉普拉斯变换的有关性质谈谈拉普拉斯变换的一些简单应用。
关键词：拉普拉斯变换 拉普拉斯逆变换 应用
如果在实变数t≥0上有定义的函数f（t）使积分
，对于已给的一些s（这里s一般取为复数）存在，则称F（s）=e-stf（t）dt为函数f（t）的拉普拉斯（Laplace）变换。记为F（s）=L[f（t）]。函数f（t）称为原函数，函数F（s）称为象函数。
如果F（s）为f（t）的拉普拉斯变换，则称f（t）为F（s）的拉普拉斯逆变换。记为：L-1[F（s）]=f（t）。
二、应用Laplace变换解常系数微分方程（组）和积分方程
例1.求微分方程x″+x=sin2t满足初始条件x（0）=0， x′（0）=1的解。
解：对方程两端实行拉普拉斯变换得L[x″]+L[x]=L[sin2t]
则由L[x″]=p2X（p）-px（0）-x′（0），得
求得，所以。所以原微分方程满足初始条件的解为。
例2. 求微分方程组满足初始条件x（0）=0， x′（0）=1，y（0）=1的解。
解：设L[x（t）]=X（s）=X，L[y（t）]=Y（s）=Y，对方程组中每个方程两边取拉氏变换，得到
将初条件x（0）=0，x′（0）=1，y（0）=1代入，整理后得
解此方程组得
取逆变换，得到原方程组满足初始条件的解为：
用拉氏变换解微方程的特解过程，避免了微分方程的一般解法中先求通解，再根据初始条件确定任意常数的复杂运算。
例3.解积分方程y（t）=sint-2y（τ）cos（t-τ）dτ。
解：令Y（s）=L[y（t）]，则由拉普拉斯变换的卷积性质有
故，于是，由拉氏逆变换得y（t）=L-1[Y（s）]=te-t.
用拉普拉斯变换法解微分方程或者积分方程有以下几个优点：（1）求解过程规范，便于在工程技术中使用；（2）当初始条件全部为0时，用拉氏变换求解就会特别简单，避免了微分方程的一般解法中先求通解，再根据初始条件确定任意常数的复杂运算；（3）当方程中的非齐项具有跳跃点而不可微时，用经典方法求解是很困难的，而用拉氏变换不会带来任何困难；（4）在实际计算中可以用拉氏变换表来求一些函数的像函数，这就使得解方程变得更加方便。
故，于是，由拉氏逆变换得y（t）=L-1[Y（s）]=te-t.
用拉普拉斯变换法解微分方程或者积分方程有以下几个优点：（1）求解过程规范，便于在工程技术中使用；（2）当初始条件全部为0时，用拉氏变换求解就会特别简单，避免了微分方程的一般解法中先求通解，再根据初始条件确定任意常数的复杂运算；（3）当方程中的非齐项具有跳跃点而不可微时，用经典方法求解是很困难的，而用拉氏变换不会带来任何困难；（4）在实际计算中可以用拉氏变换表来求一些函数的像函数，这就使得解方程变得更加方便。
三、利用Laplace变换计算广义积分
在高等数学中，计算无穷限广义积分使用常规方法只能处理一些简单的被积函数的积
分，一旦被积函数较复杂时，若仍用常规方法难度很大，下面介绍形如的广义积分，并运用拉普拉斯变换的定义及拉普拉斯的性质进行求解。
例4.求解积分。
分析：该题目如果使用高等数学的方法求解较为繁杂，要
多次使用分部积分法。如果我们使用拉普拉斯变换，则问题变得非常简单，只需求出cos2t的拉普拉斯变换后，令s=3即可。
解：（此结果也可查拉氏变换表得到）
对照要求的积分，令，即
四、利用Laplace变换分析电路
例5.如图所示，电路在t=0时开关K闭合，求输出电压信号uc（t）。
解：根据电学知识列出微分方程
（i（t）为电流函数），由于，所以
将上式中各项取拉氏变换得到
解此代数方程，求得
再求Uc（s）的逆变换，将Uc（s）的表示式分解为以下形式
总之，拉普拉斯变换是一种积分变换，它在应用数学上是解决与微分方程有关问题的一种有效简便的方法。
参考文献
[1]王高雄，周之铭，朱思铭，王寿松.常微分方程，第二版，高等教育出版
[2]陆春桃，梁薇.高等数学，第二版，湖南教育出版
[3]苏变萍，陈立东.复变函数与积分变换，高等教育出版