关于对数Poisson分布性质的研究

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【摘要】针对经典的Piosson分布， 本文利用对数正态分布的思想，定义了对数Poisson分布并给出其概率分布律表达式。在文中研究了对数Poisson分布的性质，包括矩的性质以及其分布的偏度和峰度系数. 在对数Poisson分布的点估计的研究中，得到了参数的极大似然估计量具有无偏性、有效性、相合性和充分性等优良性质.

【关键词】对数Poisson分布 点估计 极大似然估计

1 引言

传统的Piosson分布在现代经济领域内有着非常广泛的应用. 近些年来，针对Poisson分布的研究，主要集中于理论研究与应用研究. 在理论研究方面，文献[1]给出了Poisson分布高阶矩的若干性质. 而文献[2]在方差为已知的条件下，作出了具有非退化分布的总体，其服从Poisson分布的充要条件. 李长国等在[3]中继续研究了Poisson分布参数的点估计，着重研究了分布参数的极大似然估计，并将所获得的结果进行了比较. 之后，[4]进而研究了参数的区间估计，并给出了Poisson分布的多种Bootstrap置信限的模拟比较，夏开萍在[5]中利用中心极限定理，研究了Poisson分布在大样本情况下参数的置信区间，同时她还给出了Bayes置信区间，并用Bootstrap方法又给出Poisson分布参数的置信区间，经过数据模拟比较，发现了用Bootstrap方法优于用其他两种方法来获得的置信区间. 文[6]中，作者继续研究和探索了用Bootstrap方法获得的置信区间的应用.至今为止，对于对数分布的研究，国内外学者主要研究工作都集中在对数正态分布上. 例如，在当下流行的保险业中，通常将对数正态、型正则变化型、Weibull型分布作为极具代表性的分布[7]. 而这些分布被应用在生存分析、可靠性分析，特别是在局部破产概率的研究中起到非常重要的作用，因此引起了应用者们的广泛关注与深入地研究[8]-[10].关于对数正态分布，董文华，王岳宝在文献[11]中给出了若干重要性质.对数正态分布的参数的极大似然估计的推广和性质在文献[12]和文献[13]中都做了相应的研究，王静在文献[14]中则研究了分组数据情况下对数正态分布参数的极大似然估计. Zhou也介绍了对数正态分布中均值的三种最为常见的估计方法[15]，Taraldsen在提出了对数正态分布均值的精确估计中，文献[16]中提出的精确估计方法，计算简单且提出的估计的性质也优于文献[15]中提出的三种估计. 张志国[17]等在以上研究结果的基础上，对两参数对数正态分布均值的四种常见的估计方法做出了分析，并讨论了总体阶原点矩和阶中心矩以及峰度的修正极大似然估计，从而得到总体的中位数、众数和偏度均不存在修正的极大似然估计的结论.

本文定义了对数poisson分布及其分布律， 对其性质都做出了相应的研究，并且给出分布参数的矩估计与极大似然估计，同时也得到了矩估计具有有效性与相合性，而极大似然估计具有充分性等一系列结论.

2 对数Poisson分布的定义与性质

定义1[18] 设X是随机变量，若lnX服从参数为λ的Poisson分布，则称X服从对数Poisson分布.

3.1点估计

等式两边同时取对数，得

两边同时对λ求导，可得

从而，λ 的极大似然估计量为

3.2 点估计的性质

对数Poisson分布的参数的极大似然估计具有以下性质.

性质1【18】 若随机变量X服从参数为λ的对数Poisson分布，则参数λ的极大似然估计量 是参数λ的无偏估计量.

证明：由

可知， 是参数λ的无偏估计量.

该性质说明参数 的矩估计量是有偏估计量.

性质2【18】 若随机变量X服从参数为λ的对数Poisson分布，则参数λ的极大似然估计量 是参数λ的有效估计量.

证明：因为

Rao-Cramér不等式的下界为

性质3【18】 若随机变量X服从参数为λ的对数Poisson分布，则参数λ的极大似然估计量 是参数λ的相合估计量.

证明：因为 ， ， 可知 是λ的相合估计量.

该性质的证明也可以利用辛钦大数定律得到.

性质4【18】 若随机变量X服从参数为λ的对数Poisson分布，则参数λ的极大似然估计量 是参数λ的充分统计量.

证明：由于 是取自总体X的一个简单随机样本，所以 的联合分布为

以上四个性质可以看出， 对数Poisson分布的极大似然估计量，具有无偏性、有效性、一致性和充分性。

4结论

本文结合对数正态分布以及Poisson分布，定义了对数Poisson分布，并给出了对数Poisson分布的概率分布律.之后讨论了对数Poisson分布的期望、方差、n阶原点矩、分布的偏度和峰度等矩的性质. 讨论了对数Poisson分布的参数的矩估计和极大似然估计，并得到对数Poisson分布的极大似然估计量具有无偏性、有效性、相合性、充分性重要的结论.

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