浅谈数学应用题的解题策略
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大家都知道，课本离不开课标，高考离不开考纲，无论课标还是考纲，都强调培养学生的应用意识.从课本上看，教材在概念引入、实例说明、数学表示多处运用了实际问题和具体情景；从高考上看，新高考实施以来，全国各地的试卷没有不考查数学应用问题的，数学应用问题的重要性不言而喻.
如何搞好高三的应用问题复习？那就应当先从源头抓起，从课本人手，熟知课本常见应用问题模型，将其分类，总结解决应用问题的常见策略，然后通过浏览近几年各地高考和模拟考试中的应用问题，分析其背景、源头，学会在课本中找到相近的应用问题模型，了解高考怎么考，通过实战演练，不断完善、固化解决数学应用问题的策略.这是高三学生复习应用问题要时刻牢记的要点.
1.解数学应用问题的一般思路
2.解数学应用问题的一般程序
（1）审题：理解题意，分清条件和结论，引入符号变量，将问题用数学符号语言表述，要通过画图或列表等理清变量之间的数量关系.
（2）建模：分析题目中变量的特征，寻找它们之间的联系，由此找到与此相关联的数学知识，建立对应的数学模型.
（3）解题：求解数学模型，得到相应的数学结论.解题过程中应注意数学模型中变量的实际意义.
（4）答题：将数学结论还原为实际问题的结果，并对原问题作答.
3.应用问题的常见类型与对策
数学应用问题的常见类型有函数、数列、不等式、线性规划、三角函数、解析几何、概率问题等.
解题的关键是根据问题的特征与需要寻找变量，或引入变量.引人多个变量不可怕，重点在于分析变量之间的关系，将它们相互转化，若能转变为单变量，那就可以从函数与导数来人手；如果变量是角，那就考虑建立三角函数模型；若是双变量，则可考虑建立线性规划、基本不等式、解析几何等数学模型.
由此可见，应用问题的解题核心是抓住变量（问题或设好变量，或需要我们白己引入变量），由变量去思考问题的知识类型，进而建立数学模型.而将实际问题转化为数学问题来解决，常见的也就是解方程、证明（求解）不等式、求函数（包含三角函数、数列（特殊的函数））的最值或几何求值、几何论证、解三角形等.
下面我们从课本到高考，一起来领悟数学应用问题的变化过程，了解高考怎么考，从源到流或由流溯源，明确各个环节和过程，这有助于你对应用问题的理解，把握相应的解题策略.
二、数学应用问题的源与流
问题中的变量很明确，函数模型已给定（或很容易建立），大多数高考数学应用题属于此类.
变1-1 为了保护环境，某化工厂在政府部门的支持下，进行技术改造：每天把工业废气转化为某种化工产品和符合排放要求的气体，经测算，该工厂每天处理废气的成本y（元）与处理废气量x（t）之间的函数关系可近似地表示为：
（1）当工厂日处理废气量x∈[40，70]时，判断该技术改进能否获利.如果能获利，求出最大利润；如果不能获利，为了保证工厂在生产中没有亏损现象出现，国家至少每天给予财政补贴多少元？
（2）若国家给予企业处理废气阶梯式财政补贴，当日废气处理量不足40 t时，给予80元/t补贴；当日废气处理量不少于40 t时，超过40 t的部分再增加55元/t的补贴，当工厂的日处理量为多少吨时，工厂处理每吨废气的平均收益最大？
此题文字描述较多，要耐心审题，找到变量之间的关系，建立函数模型.本题将函数和导数、函数与基本不等式结合在一起，设计巧妙，有新意.
所以国家每天至少需要补贴2200元，才能使工厂生产不亏损.
（2）由题意可知，工业废气的每吨平均处理收益为：
综上，当日处理量为60 t时，工厂处理每吨废气的平均收益最大.
2.三角与不等式
（2）该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离离（单位：m），使α与β之差较大，可以提高测量精确度.若电视塔的实际高度为125 m，试问d为多少时，α-β最大？
本题来源于课本，高于课本，立意点高，侧重于考查基本三角公式、基本不等式等基础知识及数学建模方法，是一道好题.
3.数列与不等式
（1）该市历年所建中低价房的累计面积（以2004年为累计的第一年）将首次不少于4750万O？
（2）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？
由计算器解得满足上述不等式的最小正整数n=6，所以到2009年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.
变3―2 某啤酒厂为适应市场需要，从2011年起引进葡萄酒生产线，同时生产啤酒和葡萄酒，2011年啤酒生产量为16000 t，葡萄酒生产量1000 t.该厂计划从2012年起每年啤酒的生产量比上一年减少50%，葡萄酒生产量比上一年增加100%，试问：
（1）哪一年啤酒与葡萄酒的年生产量之和最低？
（2）从2011年起（包括2011年），经过多少年葡萄酒的生产总量不低于该厂啤酒与葡萄酒生产总量之和的2/3？（生产总量是指各年年产量之和）.
4.概率
例4 （人教版选修2-3）一台机器一天内发生故障的概率为0.1，若这台机器一周5个工作日不发生故障，可获利5万元；发生1次故障仍可获利2.5万元；发生2次故障的利润为0元；发生3次或3次以上故障要亏损1万元，问这台机器一周内可获利的均值是多少？
变4-1 甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束.除第五局甲队获胜的概率是1/2外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是2/3.假设各局比赛结果相互独立.
（1）分别求甲队以3：0，3：1，3：2获胜的概率；
（2）若比赛结果为3：0或3：1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3：2，则胜利方得2分、对方得1分.求乙队得分X的分布列及数学期望.
5.几何与函数、不等式
例5 （人教版选修2-2）一边长为“的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长都是x的小正方形，然后做成一个无盖方盒，x多大时，方盒的容积V最大？
变5-1 有一块边长为4的正方形钢板，现将其切割、焊接成一个长方体形无盖容器（切、焊损耗忽略不计）.有人应用数学知识作了如下设计：如图3（a），在钢板的四个角处各切去一个小正方形，剩余部分围成一个长方体，该长方体的高为小正方形边长，如图3（b）.请你求出这种切割、焊接而成的长方体的最大容积V1.
变5-2 同上一题前提，由于上述设计存在缺陷（材料有所浪费），请你重新设计切焊方法，使材料浪费减少，而且所得长方体容器的容积V2>V1.
解 为了制作简单，利于操作，只需如图4分割钢板，V2=2×3×1=6> Vl=128/27（其他方法略）.
变5-3 有一块边长为4的正方形钢板，请你设计切焊方法，使得所制作的长方体容器的容积最大.
本文结合课本题，介绍了高考数学应用问题的常见解题策略.此外，还应注意在解数学应用题后进行反思：你是如何引入变量（自己设置的或是题中已给定的）的？由变量特征如何联想数学模型的？这需要不断地归纳、总结，希望同学们在分析归纳中不断提升自己解决应用题的能力.