高职班定积分应用教学设计
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【摘要】
定积分应用是高职班《应用数学》中的一个非常重要的部分，与微分和积分知识密切相关。本次教学设计通过求简单的平面图形的面积，使学生直观理解微元法，从而掌握定积分的应用，使学生认识数学的实用价值和经济价值，逐步形成数学意识，提高学生分析和解决实际问题的能力.
【关键词】
微元法;直观;应用
一、课程设置分析
课程的地位，《应用数学》是我院机电工程系、信息技术系、车辆工程系、电子电气系各专业的一门必修公共课，是学生提高文化素质和学习有关专业知识、专门技术及获取新知识能力的重要基础。主要讲授极限与连续，导数、微分及其应用，积分及其应用等一元函数微积分的内容.要注意引导学生在其他课程和实践中使用数学，使学生认识数学的实用价值和经济价值，逐步形成数学意识，提高学生分析和解决实际问题的能力。
本次课的地位，本次课的主要内容是定积分的应用。定积分的应用是《应用数学》中的一个非常重要的部分，使学生会用微元法解决定积分的应用问题，进一步认识定积分的本质。使学生认识数学的实用价值和经济价值，逐步形成数学意识，提高学生分析和解决实际问题的能力具有重要意义。
教学设计理念与思路，学院以突出职业能力培养为导向，在加强实践性教学、压缩基础课教学的实践中做出了大胆的尝试，各专业新的培养方案要求在高职的数学教育中，把培养数学素质作为教学过程的主线，加强对学生进行数学知识应用能力的培养，从而使学生的数学知识、能力、素质得到协调发展.根据教学大纲要求和当前职业教育改革的方向，本次课运用启发式教学，精讲多练，突出重点与难点，重视定积分在实际问题中的应用。
二、教学设计分析
（一）教学目标
1.理解微元法;2.培养分析问题和解决问题的能力。
（二）教学重点和难点
重点：例题讲解;难点：微元法
（三）教学方法
根据教学大纲要求和当前职业教育改革的方向，本次课运用启发式教学，突出重点与难点;由具体到抽象等分析方法，让学生深入领悟微元法的思想方法;通过典型例题的分析讲解和一定数量的练习，精讲多练，让学生掌握好微元法，提高用定积分知识解决实际问题的能力
（四）教学设计
[板书设计]将黑板划分为左中右三块，中块和右块主要用来书写即写即擦的内容，如旧课复习、新课引入、例题示范、练习讲评等。新课知识要点写在左边，如微元法。
[旧课复习] 通过实例复习定积分的定义。
[新课引入]通过曲边梯形的面积的计算，直观形象地引入微元法。
[新课讲授] 定积分应用
1、平面图形的面积
例1求由x轴，y轴及y=（x-1）2所围平面图形的面积。
解x轴、y轴及y=（x-1）2所围成的曲边三角形位于x轴的上方，由定积分的几
何意义可知，其面积正是∫10（x-1）2dx。
∫10（x-1）2dx=∫10（x2-2x+1）dx=（13x3-x2+x）10=13。
例2用定积分求半径为R的圆的面积。
解选取如图所示的坐标系，取x为积分变量，其变化区间为-R，R，分割区间
-R，R成若干个小区间，其代表性小区间，x，x+dx所对应的面积微元
dA=（R2-x2-（-R2-x2））dx=2R2-x2dx，
于是A=∫R-RdA=2∫R-RR2-x2dx=πR2。
2、微元法
通过上述例题可以得出积分就是微分的无限累加这一特性，由此归纳出微元法
如果某一实际问题的所求量A符合以下条件：
（1）A是与区间[a，b]上一个连续函数有关的量
（2）A对于区间[a，b]具有可加性，即A=∑ΔA，其中ΔA为将A分割后的部分量
（3）部分量ΔA的近似直可表示为ΔA≈dA
（4）则所求量A=∫badA，这种方法称为微元法，而dA称为A的微元
例3求抛物线y2=x2与直线x-2y=4所围成的图形的面积.
解：如图所示.（图略）
由方程组y2=x2
x-2y=4，求出交点为（2，-1），（8，2）.取y为积分变量y的变化区间为[-1，2]，在区间[-1，2]上，任取一子区间[y，y+dy]，
得面积微元 dA=（2y+4-2y2）dy，
则所求面积为A=∫2-1（2y+4-2y2）dy =（y2+4y-23y3）2-1=9。
注意：计算面积时要
pan lang=EN-US>2013
（1）适当选择积分变量，以便简化计算;（2）要考虑图形的对称性。
3、平行截面面积为已知的立体体积
不妨设物体在x处垂直于x轴的截面面积A（x）是x的已知连续函数，求该物体介于x=a和x=b（a<b）之间的体积。
为求出体积微元dV，在微小区间x，x+dx上视A（x）不变，即把x，x+dx上的立体薄片近似看作以A（x）为底，dx为高的柱片，于是其体积微元dV=A（x）dx，再在x的变化区间a，b上积分，则有V=∫baA（x）dx。
例4求由曲线xy=4，直线x=1，x=4，y=0绕x轴旋转一周而形成的立体体积。
解（图略）：先画图形，因为图形绕x轴旋转，所以取x为积分变量，x的变化区间为[1，4]，相应于[1，4]上任取一子区间[x，x+dx]的小窄条，绕x轴旋转而形成的小旋转体体积，可用高为dx，底面积为πy2的小圆柱体体积近似代替，
即体积微元为dV=πy2dx=π（4x）2dx，
于是，立体体积
V=π∫41（4x）2dx=16π∫411x2dx=-16π1x41=12π。
注意求旋转体体积时，第一要明确形成旋转的平面图形是由哪些曲线围成，这些曲线的方程是什么;第二要明确图形绕何轴旋转，要正确选择积分变量，写出定积分的表达式及积分上下限。
4、其他应用举例
例5某石油公司经营的一块油田的边际收入和边际成本分别为
R′（t）=q-t13（百万元/年），C′（t）=1+3t13（百万元/年），
求该油田的最佳经营时间，以及在经营终止时获得的总利润（已知固定成本为4百万元，q为实数）。
解由最大利润原理，令R′（t）=C′（t），则q-t13=1+3t13，得 t=（q-1）364，
总利润L=∫（1-q）3640[R′（t）-C′（t）]dt-4=∫（1-q）3640（q-t13-1-3t13）dt-4
=∫（1-q）3640（q-1-4t13）dt-4=[（q-1）t-3t43]（q-1）364
0-4=（q-1）4256-4（百万元）。
因此，油田的最佳经营时间为（q-1）364年，经营终止时获得的总利润为（q-1）4256-4百万元。
[练习与讲评]（略）
三、小结
1.用微元法计算面积;2.用微元法计算（旋转体）体积。
参考文献：
[1]王玉华等.应用数学基础[M].高等教育出版社，2013
[2]任开隆.实用微积分[M].高等教育出版社，2004