全纯映射在某类非凸域上的Wolff点

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The Wolff Points of the Holomorphic Maps Defined on A Non-convex Domain

Yin Zhiqiang

（嘉兴学院南湖学院，嘉兴 314001）

（Jiaxing University School of Nanhu，Jiaxing 314001，China）

摘要： 在以往用欧氏度量与Kobayashi度量来研究全纯自映射的迭代问题的基础上，用多复Green函数研究了某类非凸域―Hartogs三角形上的Wolff点，希望由此能得到解决非凸域上全纯自映射迭代的突破口。

Abstract： The Riemman measure and the Kobayashi measure are usually used to investigate the problem of iterative of holomorphic maps. The Wolff points of holomorphic maps are investigated by the Pluricomplex Green function, and a method which is used to investigate the iterative properties of holomorphic self-maps. Defined on the non-convex domain, wants to be acquired.

关键词： 全纯映射 非凸域 迭代

Key words： holomorphic self-map; non-convex domain; iteration

中图分类号：O174.56 文献标识码：A文章编号：1006-4311（2011）15-0238-02

0引言

若D为Cn中的有界域，f为定义于D上的全纯自映射，如果定义

f■=f，f■=f?莓f■，（n∈N）。

那么我们就得到了区域D上f的迭代序列{fn}。而对于{fn}是否在D的紧子集上一致收敛于某个全纯映射h：DCn，一直以来被很多的人感兴趣。关于这方面的历史，首先是1926年Wolff和Denjioy[1-3]解决的单位圆上全纯自映射迭代的收敛问题。再就是1983年，MacCluer[4]得到的Cn中单位超球上的结果。再后来，就是Abate[5]在1998年解决的具有C2-边界的强凸域上全纯自映射的收敛问题。最近，直到2004年，Frosini[6]得出了一个特殊凸域―双圆柱上全纯自映射的Wolff点集的性质，而且在他的文章中我们可以看出，全纯映射的迭代收敛与它的Wolff点集有着非常密切的关系。而对于一般凸域特别是非凸域的情形，目前人们就知之甚少了。

研究他们的文章可以看出，他们处理问题所采用的度量是一般的欧氏度量与Kobayashi度量[7]，特别是Kobayashi度量在Abate的文章中得到了很好的应用。

而对于非凸域，我们所了解的Kobayashi度量是比较少的，但此时我们却对多复Green函数了解较为全面。本文就利用多复Green函数研究了一类非凸域―Hartogs三角形Ω={（z，w）：z

定义1.1[8] 令D为Cn中的有界域，记PSH（D）为区域D上的多次调和函数全体。极限函数

g■（z，w）=sup{?准（z）：?准∈PSH（D），?准?燮0，?准（z）?燮lnz-w+O（1）}

称作以w为极点的多复Green函数。

定义1.2 令D为Cn中一有界域，取z0∈D，x∈?鄣D与R>0。并且

g■（z，w）为D上以w为极点的多复Green函数。那么以x∈?鄣D为中心，z0∈D为极点，R为半径的极限小球面E■（x，R）和极限大球面E■（x，R）定义如下：

E■（x，R）=z∈D：■■

F■（x，R）=z∈D：■■

我们称τ∈D为f的一Wolff点，如果对所有R>0，都有f（E■（τ，R））?奂E■（τ，R）。f的Wolff点的集合记为W（f）。

特别地，当0∈D时，记以x∈?鄣D为中心，0为极点，R为半径的极限小球面为E（x，R），极限大球面为F（x，R）。

本文我们记Hol（U，V）为Cn中区域U到V的全纯映射空间，为单位圆盘。

1主要定理及其证明

首先我们先给出Wolff点在某些双全纯映射下的性质。

引理2.1 令D1与D2分别为Cn中的有界域，且?祝■?奂?鄣D■，?祝■?奂?鄣D■，f为区域D1上的全纯自映射，φ为区域D1到区域D2的双全纯映射，并且φ可以1-1连续地延拓到?祝■?祝■。那么如果x∈?祝■且x∈W（f），则有φ（x）∈W（φ?莓f?莓φ-1）。

证明：令x∈?祝■，z0∈D1，首先我们表明：φE■（x，R）=E■（φ（x），R），?坌R>0。

事实上，若z∈E■（x，R），则

■■=■■

所以φ（z）∈E■（φ（x），R）。类似地有，若z∈E■（φ（x），R），那么有

φ-1（z）∈E■（x，R）。从而可得φ（E■（x，R））=E■（φ（x），R），?坌R>0。

下面我们就证明f包含于?祝■中的wolff点是双全纯不变的。如果x∈?祝■且x∈W（f）。令■=φ?莓f?莓φ-1。对一固定点z2∈D2，?坌R>0有

■（E■（φ（x），R））=φ?莓f?莓φ■（E■（φ（x），R））=φ?莓f（E■（x，R））?奂φ（E■（x，R））=E■（φ（x），R）

由全纯映射Wolff点的定义可知引理成立。

注2.1 我们称全纯映射f包含于?祝■中的Wolff点是双全纯不变的，如果对任意双全纯映射φ，x∈?祝■且x∈W（f），有φ（x）∈W（φ?莓f?莓φ■）。

对于Hartogs三角形Ω={（z，w）：z

φ（z，w）=（ξ■，ξ■）=（φ■（z，w），φ■（z，w））:φ■（z，w）=■,φ■（z，w）=■，

其中0≠a∈。显然，φ为区域Ω到区域×{a}的一个双全纯映射。并且在φ的作用下，我们有以下的边界对应关系。

令T■={（z，w）:w=1，z

显然?祝■（i=1，2，3，4）和S■（i=1，2，3，4）分别为Hartogs三角形与×{a}的边界。特别地，φ可以1-1连续地延拓到?祝■S■（i=1，2，3），但是?祝■S■不是1-1的。

记T=T■∪T■∪T■，S=S■∪S■∪S■，对于T上全纯映射f的Wolff点集的性质，由引理2.1，我们可以考虑在双全纯映射意义下相应全纯映射(不妨也记为f)，在区域×{a}的边界S上的Wolff点集的性质。另外，由黎曼可去奇性定理[9]，定义于×{a}的每个全纯映射都可以解析延拓到×。因此我们可以通过F的全纯延拓在×上的Wolff点集的性质，来研究F在区域×{a}的边界S上的Wolff点集的性质。

定义2.1 称映射f:×{a}Cm在x∈?鄣（×{a}）有E-极限L，如果当z∈E（x，R），?坌R>0且zx时，有f（z）L。

有了以上的准备，我们的主要定理内容如下：

定理2.1 令Ω={（z，w）:z

由该定理我们可以看出，Hartogs三角形上全纯映射f的Wolff点集性质，与其相应的在双圆柱上的全纯映射的Wolff点集性质，有着非常相近的关系。

若x∈?鄣2，R>0。为了不发生混淆，我们记E（x，R）和■（x，R）分别为以x为中心，（0，0）为极点，R为半径的2在与×{a}中的极限小球面。在我们给出定理2.1的证明之前，我们还需要表明对同一x，?坌R>0有 ■（x，R）=E（x，R）{×a}。

首先我们给出一个命题。

命题2.1[10] 假设U为Cn中的一区域，u为区域U上的一多次调和函数，记E={z∈U?Zu（z）=-∞}。那么对在区域U\E上多次调和且有上界的每个函数ρ，函数

■（z）=ρ（z） z∈UE,■ρ（w） z∈E

是区域U上的多次调和函数。

引理2.2 若x∈?鄣2，R>0。E（x，R）和■（x，R）分别为x以为中心，（0，0）为极点，R为半径的在2与×{a}中的极限小球面。那么有■（x，R）=E（x，R）{×a}。

证明：为了表明该引理的正确性，我们仅仅需要表明，定义在×{a}上的每个多次调和且有上界的函数ρ都可以延拓到2上。现在我们令E={（x，a）?Zx∈}，定义

u（z）=lnz■-a，

其中z=（z1，z2）∈2，当z=（z1，a）时，令u（z）=-∞。那么由命题2.1可得，定义在×{a}上的每个多次调和且有上界的函数ρ都可以延拓到2上，从而×{a}上的极限小球面■（x，R）都能延拓到2上，所以引理结论成立。

有了以上的准备，下面我们就给出定理2.1的证明。

定理2.1的证明：令h=φ?莓f?莓φ-1。由于全纯函数的Wolff点x∈T是双全纯不变的，所以我们有下式成立：x∈W（f）?圳φ（x）∈W（h）。从而我们只需证明φ（x）∈W（h）?圳φ（x）∈W（■）。

首先由假设和Wolff点集的定义，显然有若φ（x）∈W（■），那么φ（x）∈W（h）。事实上，对x∈T和所有R>0，有■（φ（x），R）?奂E（φ（x），R），其中E（φ（x），R）为2中的极限小球面，■（φ（x），R）为×{a}中的极限小球面。

下面我们再来看另一方向。如果φ（x）∈W（h），即

h（■（φ（x），R））?奂■（φ（x），R），?坌R>0。

令φ（x）=（x■，x■）∈?鄣■，■（z，w）=（■■（z，w），■■（z，w））∈Hol（■，■），并且h（z，w）=（h■（z，w），h■（z，w））∈Hol（×{a}，×{a}）。

由[11]我们知道E（φ（x），R）=E1×E2，其中当x■=1，j=1，2时，E■=E（x■，R），否则E■=。下面我们分两种情况讨论。

i) a?埸E2。在这种情况下，由引理2.2，E（φ（x），R）=■（φ（x），R），从而有■（E（φ（x），R））?奂E（φ（x），R）。

ii) a∈E2。在这种情况下，我们同样有■（E（φ（x），R））?奂E（φ（x），R）。事实上，对某个固定点（x0，a）∈E（φ（x），R），存在子序列{yn}?奂■（φ（x），R）满足■y■（x■，a）。

由于{h（y■）}?奂E（φ（x），R），所以■（x■，a）∈E（φ（x），R）。从而对任意形如（x'，a）∈E（φ（x），R）中的点，都有■（x'，a）∈E（φ（x），R）。故有■（E（φ（x），R））?奂E（φ（x），R）。

综上所述可知定理结论成立。

参考文献：

[1]Wolff J. Sur l'iteration des fonctions holomorphes dans une region, et dont les valeurs appartiennent a cette region[J]. C R Acad Sci Paris, 1926, 1(182): 42-43.

[2]Wolff J. Sur l'iteration des fonctions bornees[J]. C R Acad Sci Paris, 1926, 2(182): 200-201.

[3]Wolff J. Sur une generalisation d'un theoreme de Schwarz[J]. C R Acad Sci Paris, 1926, 5(182): 918-920.

[4]MacCluer B D. Iterates of holomorphic self-maps of the unit ball in[J]. Mich Msth J, 1983, 1(30): 97-106.

[5]Abate M. Horospheres and iterates of holomorphic maps[J]. Math Z, 1998, 2(198): 225-238.

[6]Chiara Frosini. Holomorphic Dynamics in the complex bidisc(C). PhD Dissertation, Firenze, 2004.

[7]Kobayashi S. Hyperbolic manifolds and Holomorphic mappings[M]. New York: Dekker,1970: 44.

[8]Klimek M. Extremal plurisubharmonic functions and invariant pseudodistances[J]. Bull Soc Math France, 1985, 2(113): 231-240.

[9]Krantz G. Function theory of several complex variables[M]. New York: Wiley, 1982: 262.

[10]Klimek M. Pluripotential theory[M]. New York: Clarendon Press, 1991: 67.

[11]Abate M. The Julia-Wolff-Caratheodory theorem in polydisks[J]. Journ d'Analyse Math, 1998, 1(74): 1-34.