小议函数的对称性与周期性之间的关系
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函数的性质是高中数学函数部分的重点内容，历年高考针对函数的性质都会重点考察。考察范围涵盖函数的定义域，值域，解析式，函数的奇偶性，函数的单调性，对称性，函数的周期性，函数图象，极值与最值等等。本文就函数的对称性与周期性之间的关系加以阐述。
一、函数图象的对称性
函数图象的对称性的本质仍然是点与点之间的对称关系，包括点与点关于电对称，点与点关于直线对称。函数的奇偶性只不过是对称性的特例而已。函数的对称性有以下结论：
结论1：函数f（x）的图像关于直线x=a对称的充要条件是f（x）=f（2a-x）或者函数f（x）的图像关于直线x=a对称的充要条件是f（a+x）=f（a-x）
一般的，若函数f（x）满足f（a+x）=f（b-x），则f（x）关于直线对称
结论2：函数f（x）的图像关于直线x=0对称的充要条件是f（x）=f（-x）
即函数f（x）为偶函数充要条件是f（x）=f（-x）
结论3：函数f（x）的图像关于点（a，b）对称的充要条件是f（x）=2b-f（2a-x）
结论4：函数f（x）的图像关于点（0，0）对称的充要条件是f（x）=-f（-x）
即函数f（x）为奇函数的充要条件是f（x）=-f（-x）
结论5：函数y=f（x）与函数y=f（2a-x）关于直线x=a对称
结论6：函数y=f（a+x）与函数y=f（a-x）关于y轴对称
结论7：函数y=f（x）与函数y=f（-x）关于y轴对称
结论8：函数y=f（x）与函数y=-f（-x）关于原点对称
结论9：函数y=f（x）与函数y=2b-f（2a-x）关于点（a，b）对称
其中结论1，2，3，4反映一个函数自身的对称性，结论5，6，7，8，9反映两个函数图象的对称性
二、函数的周期性
如果函数f（x）对于定义域内的每一个x，存在一个非零的常数T，都有f（x）=f（x+T）成立，就称函数f（x）是一个周期函数，其中T叫做周期函数的一个周期。如果在函数f（x）的所有周期中，存在一个最小的正数，就称之为函数f（x）的最小正周期.对函数的周期性定义解读如下：
（1）周期函数的定义域是一个无限区间
（2）f（x）=f（x+T）是一个恒等式，对于定义域内的每一个x恒成立
（3）若T是函数f（x）的一个周期，则kT（k∈Z，k≠0）也是函数的周期
（4）周期函数未必就一定有最小正周期
（5）函数的周期性不是三角函数所专有的特殊性质。有些函数通过递推关系也能够推导出周期性。比如f（x+1）=-f（x）可以得出f（x）是周期为2的周期函数。
三、对称性与周期性之间的关系
具有对称性的函数往往具有周期性，有以下结论成立：
结论1：如果函数f（x）关于两条直线x=a，x=b对称，则函数f（x）是周期函数，周期T=2（b-a）
f（x）关于直线x=a对称，f（x）=f（2a-x）
f（x）关于直线x=b对称，f（x）=f（2a-x）
f[2（b-a）+x]=f[2b-（2a-x）]=f（2a-x）=f（x）
结论2：偶函数f（x）关于直线x=a（a≠0）对称，那么f（x）是周期为2a的周期函数.（这就是结论1中b=0时的特例）
结论3：函数f（x）关于点（a，0）对称，且函数f（x）关于直线x=b（b≠a）对称，那么f（x）是周期为4（b-a）的周期函数；
证明：f（x）关于点（a，0）对称，f（x）=-f（2a-x）
又f（x）关于直线x=b对称，f（x）=f（2b-x）
f[4（b-a）+x]=f[2b-（4a-2b-x）]=f（4a-2b-x）
=f[2a-（2b+x-2a）]=-f（2b+x-2a）=-f[2b-（2a-x）]
=-f（2a-x）=f（x）
结论4：奇函数f（x）关于直线x=b对称，那么f（x）是周期为4b的周期函数；（这就是结论3中a=0的特殊情况）
结论5：若函数f（x）关于两点（a，0），（b，0）对称，那么f（x）就是周期为2（b-a）的周期函数
f（x）关于点（a，0）对称，f（x）=-f（2a-x）
又f（x）关于点（b，0）对称，f（x）=-f（2a-x）
H！f[2（b-a）+x]=f[2b-（2a-x）]=-f（2a-x）=f（x）
从而结论得证
结论6：奇函数f（x）关于点（a，0），（a≠0）对称，那么f（x）就是周期为2a的周期函数。（这就是结论5中b=0的特殊情况）
结论7：偶函数若具有周期性，则必有与y轴平行的对称轴.
略证：f（x）是偶函数，且周期为T
H！f（x）=f（-x），f（x+T）=f（x）H！f（x+T）=f（x）=f（-x）
H！f（x）关于x=对称。
结论8：奇函数若具有对称性，则不一定有对称轴。比如函数y=tanx
结论9具有周期性和x=a（a≠0）对称轴的函数，不一定具有奇偶性。
例如函数y=sin（x+）。就不具有奇偶性
四、应用举例
例1：设f（x）是R上的奇函数，且f（x+2）=-f（x），当0≤x≤1时，f（x）=x，则f（7.5）= ；
解：f（x+2）=-f（x）H！f（x+4）=f[（x+2）+2]=-f（x+2）=f（x）
H！f（x）是周期为4的周期函数
f（7.5）=f（8-0.5）=f（-0.5）=-f（0.5）=-0.5
例2：已知定义域为R的函数f（x）是奇函数，且满足f（x+2）=-f（x），当x∈[0，1]时，f（x）=2x-1
（1）求f（x）在[-1，0]上的解析式；
（2）求f（log24）
解：（1）设x[-1，0]。则-x∈[0，1]
f（x）是上的奇函数，
f（x）=-f（-x）=-（2-x-1）=1-2-x，x∈[-1，0]
（2）由f（x+2）=-f（x）
H！f（x+4）=f[（x+2）+2]=-f（x+2）=f（x）
即f（x）是周期为4的周期函数。
f（log24）=f（-log224）=f（-log2-4）=f（-log2）
=-f（log2）=-（2log2-1）=-