浅谈概率课堂教学中的传道解惑

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摘 要： 概率论的难学，和教材、内容有关。内容抽象、教材文字过于精炼，它的“硬伤”几乎掩盖了自身内容体系的逻辑性光芒，让学生望而却步。教师要完成传道解惑的任务，应从哪些方面入手呢？本文试就此问题展开讨论。

关键词： 概率课堂教学 传道解惑 教材 内容

概率论和高等数学、线性代数是大学里普遍开设的三门公共数学课程（但个别文科专业如外语、文学等相关专业免学），学习难度上可以说是三门课之最。分析原因，和概率论的教材、内容有关。

先说教材。不少理科数学的教材都以文字精练、内容准确著称，这当中也包括概率教材。从定义到性质，然后是例题、思考题，文字组织做到尽可能的精炼；没有了历史来源，看不到学派争锋，顺带抹杀了学生读书的趣味，直接把他们推到照葫芦画瓢的题目训练中，固化了学生的思维。相对来说，文科的教材读起来就有趣很多[1]。

再说内容。从古典概率到随机变量，从理论到现实规律的映射，以及后续数理统计的基本知识，可谓从简单到深刻，环环相扣，富于逻辑性。但是概率本身也有抽象和精炼的特点，这给学生的自主学习设置了一道实实在在的门槛，以至于学生不得不寄希望于老师帮助排除疑难。

所以，在概率论的课堂上，我认为教师应担负主导者的角色，做好课堂规划，设置好留给学生的部分时间，引导他们阅读概念，练习题目；这期间，教师应完成传道解惑的基本任务。自己的基本任务完成了，剩下的思维训练、举一反三就是学生的任务了，就交给学生去完成。虽然教学改革中的一种说法是，网络远程授课是一个趋势；但是限于配套设施的不完备，目前的阶段还是教师承担着高校授课的主要角色。

那么，教师要完成传道解惑的任务，那就是要把课讲清楚，尽量用学生可接受的语言来讲解。教师的解释延伸到哪里，学生的理解和领悟就延伸到哪里。我对自己的授课做了归纳，建议老师们不妨从以下几点入手，把知识传授给学生的时候，传授得“简单”一点。

一、挖掘隐含信息，表述清楚，层层递推

举例。题目如下：概率论的课堂上现有120107和120108两个班级，简称7班和8班；两班的人数分别是49、46。现在随机选取20名学生，问其中只有5名7班学生的概率是多少？

我们仍然用等式描述题目信息就是：共计95名学生=49名7班+46名8班；事件A：任选20名学生=5名7班+15名8班。

问题1：事件A已经很明确了，要考虑事件A的实现方式。换句话说，为了实现事件A，怎么选取学生？有几种选取方式？

问题2：所有可能结果称为样本空间，那么样本空间中可能的结果总数有多少种？

问题3：古典概率的计算公式是――A中包含样本点的数目和样本空间S中包含样本点数目的比值，那么本题的结果是多少？

上面问题1是关键。所以此处只是说明问题1。其实书[1]此题前面的若干例子已经表明：古典概率中选取对象的方式包括排列、组合两种；切换到本题，就是要明确一点：选取的20名同学，是要综合考察选取的所有排列还是简单考虑选取组合？

实际上，为了达成事件A的具体实现方式有多种，比如：第一次选7班的同学，第二次8班的同学，或者相反，总之，要保证有5名7班的同学。只要讲清楚，尽管具体实现过程多样，但本题并不涉及具体过程的细节，只关注了不计班级次序的选取结果。也就是说，不考虑排列，只考虑组合，那么问题1的答案就很明朗了。

明确了事件A中的样本点是20名学生的一个组合后，为了实现事件A，不管选取的班级次序，只需要选到5名7班的学生和15名8班学生。共有49名7班学生，选5名学生作为一组，这样的组合数共有C 种方式；再给组合选入15名8班学生，8班学生有46个学生可以选择，共有C 种选择方式。事件A的实现方式可以组织为2个步骤完成，每个步骤均按组合选取。事件A描述的20名学生的取法实现方式有C ・C 种。

最终，我们得到选取20名学生、其中只有5名7班学生的概率是一个超几何公式：C ・C /C 。得到这个公式的前提是7班和8班同学没有公共子集。回到原来的产品随机抽取的题目，相信也能够很快得到答案。

上述步骤，也被称为“读题”，就是把隐含的信息挖出来。

二、背景介绍，不可或缺

关于随机变量的引入，教材以样本点的函数作为随机变量的定义。那么我们可以在这之前来一段背景说明会更好。

概率论最早研究的对象是古典概率。17世纪，牛顿和莱布尼茨各自发明了微积分。而微积分的研究对象是变量和函数。微积分很快被用到各领域中，概率也不例外。概率论这门课本身就是研究描述自然界事物发展规律，同时周围的世界变量无处不在。要研究概率论，必须研究变量。而研究变量，也就成就了对概率论这门学科的研究。引入随机变量之后，古典变量的几乎全部概念――条件概率、独立性等，统统使用变量重新加以刻画；并且引入新的概念和方法，促进了概率论的蓬勃发展。

三、把握对比，寻找差异

在概率论中，有一个概念是“概率密度函数”，也简称“概率密度”。这和物理中的密度有关系吗？引用物理学中的符号，令m：质量，ρ：密度，v：体积，则有m=ρv。换成平面金属薄板，则有m=ρs，其中，s：面积。由于加工工艺中的冷热受热不均，金属薄板的厚薄程度不一致，造成它的密度不均匀。一点附近的密度越大，说明这点附近的质量越大；反过来，一点附近的质量越大，说明这点的密度也较大。这个密度，是质量的密度。但当时我们没有接触其他密度，所以简称为密度，不会引起混淆。

到了这里，我们得到一个公式：

p=P（x -h

在x 邻域U（x ，h）的概率p和数值f（x ）成正比。数值f（x ）越大，x 邻域U（x ，h）内的概率也越大；反之亦然。那么这个f（x ）反映了概率在x 邻域U（x ，h）的分布密集程度，可以类比的称其为――概率的密度。

就几何图形而言，y=f（x）的图像是一条连续曲线或者分段连续曲线，函数值y越大，说明相应的自变量x处附近聚集的概率也越大；反之，函数值y越小，说明相应的自变量x处附近聚集的概率也越小。

至此，物理中的密度，我们称为质量的密度。

再谈谈一维随机变量和二维随机变量的一点区别。

设X代表在校本科生的年龄，在x轴上取值。以随便给X施加一个约束范围，如16

到了二维连续随机变量，概率密度f（x，y）的几何图像是一个曲面；同质量的密度一样，这是一个不真实存在、假象的曲面。每一次随机试验，会得到随机向量（X，Y）的一组取值（x，y），这组取值这次是（x ，y ，下次是（x y ，取值具有随机性，是XOY直角坐标平面上的一个动点。假定X：身高，Y：体重。随便给（X，Y）一个约束条件，如：100

在概率论的教学中，需要细心体会，总结差异，这样才能带给学生左右逢源的开朗境地。

四、对随机变量的分布进行模拟

前面提到，概率论的教材具有抽象性。比如，在对概率密度的引入上，教材采取了先引入分布函数F（x）的定义、再借助关系式

F（x）=f（t）dt

而引入概率密度f（x）。这里，分布函数与概率密度的关系是明确的，但遗憾的是对于学生来说，寥寥数语的介绍，无异于蜻蜓点水，没有清晰度可言。

如何把抽象的内容变得具体化？可以对随机变量的分布进行统计模拟。包括一维随机变量、二维随机变量、大数定律和中心极限定理等的统计模拟。概率的很多结论均来源于统计，统计是概率知识的来源之一。我们用统计模拟概率结论，某种程度上说，是回到“源头”认识概率论。

下面我们将分别模拟经验分布函数和频率直方图，并粗略验证两者的关系。

引入问题背景。设X：表示银行排队的等待时间，服从参数为5的指数分布。那么随机生成20个数据，排序并计算经验分布函数。EXCEl绘制的经验分布函数散点图如图1。

这是一个非单调下降的图形。下界取0，上界取1。分布函数的相关性质均可在图1中显示出来。

提问：在图一中，比较X=1和X=6，哪个点附近聚集的概率较大？为什么？

上述问题对应着函数变化快慢的问题；而表征函数变化快慢的量就是斜率――导数，从而我们再模拟出这个“斜率”图形。概率中与斜率对应的就是概率密度；放到统计学中，我们可以用直方图来模拟。采用EXCEL模拟的大致过程为：设置X轴范围[0，14]，等分为14个小区间；计算每个小区间上数据点的频率，作为纵坐标y，以小区间的中点作为横坐标x；将x序列和y序列描点连线作图即得。

对比可发现，图2是图1的导数的反映，尽管不够百分百准确。比如（0，1）区间内，经验分布函数F（x）的斜率相对是偏大的，吻合图2中X在0.5处取得（0，1）区间上频率最大值。另外，因为是模拟指数分布，故此图形是一条（近似）单调下降的曲线。

明显可以看到：图2中，所有的频率值的总和为1，对应了概率密度在实数轴上的累计总概率为1，即（x）dx=1。

这样一来，学生就知道了分布函数的定义和性质，以及概率密度的由来。原来这些定义均来源于实际的统计劳动，而非凭空设想臆断。

关于其他背景下的模拟，本文不再赘述。

五、引入课程设计，作为考核方式之一

目前的考核方式主要是平时成绩、期末成绩的加权配比计分制，缺少实践和实践考核方式。有必要引入课程设计，采用平时、期末、课程设计三位一体的计分制。

引入课程设计的好处，既促使了学生的自主思考，又提升了学生的写作水平，有利于学生的均衡发展。关于课程设计的题目，考虑到概率论课程和其他横向课程的联系，比如与数学建模课程、统计课程等的联系，可以写将概率论的内容作为数学建模的讨论对象解题，或者将概率论与统计的联系作为讨论对象。另外，使用EXCEL软件模拟概率论的结论也可以纳入课程设计题目范畴，不过这类题目需要以学生对EXCEL软件能够灵活使用为前提，这不属于概率论课程的教学内容，所以能够锻炼学生的课外实践能力，给那些感兴趣的学生提供一次练习的机会。

参考文献：

[1]张国楚.大学文科数学（第二版）.高等教育出版社，2007（3）.

[2]盛骤等.概率论与数理统计（第四版）.高等教育出版社，2008（6）：12.

[3]徐稼红.高中数学新课程丛书Excel、word与数学教学.江苏教育出版社，2006（4）.

广东省普通高校专业综合改革――信息与计算科学资助项目。