对图形折叠问题的思考
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摘 要：折叠型问题立意新颖、变换巧妙，对培养学生的识图能力，提高学生良好的空间观念和灵活运用数学知识解决问题的能力都有非常重要的作用。在解决有关折叠的问题时可以充分运用轴对称的思想和轴对称的性质，运用所学的三角形相似、三角形全等、勾股定理、方程思想等数学知识来解决。折叠问题使我们充分体会到了数学的“趣味美”“对称美”和“变幻美”。
关键词：折叠；轴对称；思想方法
新的数学课程标准中，明确倡导“在数学学习过程中，学生的情感态度体现在课堂学习的全过程中。学生学习数学的过程应是一个有效的、主动从事数学活动的兴趣过程”。初中阶段的数学学习主要是培养学生的思维能力，发展学生的智力。教师应让学生逐步树立空间观念和形成空间思维能力，即根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体。
近几年来，各地中考数学试题中常常出现折叠问题，折叠型问题立意新颖、变换巧妙，对培养学生的识图能力，提高学生良好的空间观念和灵活运用数学知识解决问题的能力都有非常重要的作用。
数学中图形的折叠问题，题型多样，变化灵活。本人就如何解决折叠问题谈一些自己的体会。我觉得折叠问题主要包括三个类型方面的问题：
一、动手操作型问题
此类问题主要考查学生动手操作的能力，它包括裁剪、折叠、拼图，它既考查学生的动手能力，又考查学生的想象能力，使学生的各类知识能更好地融合在一起。
在初三中考复习《四边形》专题时，结合折叠问题，在上课一开始，我就和同学们进行互动。首先，我手拿一张三角形纸片，把纸片先沿BC边上的高折叠，折痕是AD，垂足为D；接着把ABC往下翻折，使A与D重合，折痕是EF。如图所示，试问：（1）四边形BEFC是什么特殊四边形？（2）如果四边形BEFC是等腰梯形，则原ABC需要满足什么条件？
接着，请同学们思考一下，如何把刚才这张纸片折成一个菱形？如果要把这张纸片折成一个正方形，又应该如何进行折叠呢？是否应该对原三角形增加条件呢？课堂上，可以让学生进行实际操作，利用小组合作交流的形式共同完成。
在课堂上一边提出问题，一边让学生动手实践，由学生揭示折叠问题的本质和规律。（1）图形经过翻折后，两个重合的部分是全等形。（2）折痕是对应点连线的中垂线。通过两个三角形纸片折叠问题，提高了学生动手操作的能力，体验到了成功的喜悦。
二、计算和证明类问题
此类问题大体包括：
1.利用图形折叠的性质，计算线段的长度或者图形的面积等等
例如，图一中P是以AB为直径的半圆上的一点，PA＝4，AB＝10，将半圆折叠使弦PA正好落在AB上，试求出折痕AC的长。
分析：根据折叠的性质可得∠1=∠2，CQ=CP。根据圆中的相关性质可得CP=BC，∠BCA=90°
CB=CQ，在等腰BCQ中，过点C作CDBQ，可得BD=DQ
在RtABC中，利用射影定理可求出AC的长。
2.利用折痕的特殊性解决相关问题
折叠问题中的折痕所在的直线就是对应线段的对称轴。它垂直平分对应点的连线，且它到对应点的距离是相等的。
例如，图二中矩形纸片ABCD，其中AB=4 cm，BC=6 cm，点E是BC的中点，将纸片沿直线AE折叠，使B落在梯形AECD内，记为点P，试求出线段PC的长度。
分析：解决此题可以充分利用折叠后线段相等的特点，连接BP，E是BC的中点，BE=CE，根据折叠的性质可得：PE=BE=CE，点B、P、C是在以E为圆心，BE为半径的圆弧上，BPC是直角三角形，其中∠BPC=90°，易知BPC∽ABE，容易求出PC=■ cm。
另解：连接BP，AE是折痕，AE垂直平分BP，即点F是BP的中点，又E是BC的中点，线段EF是BCP的中位线，PC=2EF，要求PC，只需要求出EF，而线段EF的长度很容易在ABE中求出。
所以，在解决此类问题时要充分运用以上结论，借助辅助线构造直角三角形，结合相似形、锐角三角函数或构造方程的思想等知识来解决有关折叠问题，使得解题更轻松。
三、拓展探索类问题
此类题目常涉及画图、测量、猜想证明、归纳等问题，它与代数、几何均有联系。此类题目注重考查学生知识形成的过程，领会研究问题的方法，符合新课改的教育理论。
例如，操作：现把ABC纸片沿DE向内折叠，
如图一，当A落在四边形BCDE的CD边上，试探究∠1与∠A的数量关系。如图二，当点A落在四边形BCDE内部时，试探究∠1、∠2与∠A的数量关系。如图三，当点A落在四边形BCDE外部时，试探究∠1、∠2与∠A的数量关系。
其实，此题就是一道探究规律的题目，图一是最简单的情况，同学们也比较容易解决。图二这种情况就需要学生去和折叠的性质结合起来。图三又是对图二情况的一种迁移。解决这类问题的关键是弄清楚折叠前后图形的对应关系，折叠前后哪些量变了，哪些量没有变，折叠后又有哪些条件可利用。这一类题目可以充分锻炼学生的思维拓展能力。让学生学会创新，在创新中体会到数学的“变幻美”。
总的来讲，折叠问题都有一个共同点——“折”是过程，“叠”是结果。折叠问题的实质是图形的轴对称变换，折叠就是将图形的一部分沿着一条直线翻折180°，使它与另一部分图形在这条直线的同旁与其重叠或不重叠。在解决有关的折叠问题时，可以充分运用轴对称的思想和轴对称的性质，运用所学的三角形相似、三角形全等、勾股定理、方程思想等数学知识来解决。折叠问题使我们充分体会到了数学的“趣味美”“对称美”和“变幻美”。只要我们善于钻研和体会，一定会感受到数学带给我们的无穷乐趣。
（作者单位 江苏省无锡市洛社初中）