一题多解,激活思维

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在一次高三数学阶段性检测中，笔者所在的命题组以下面一道题作为该次检测的客观性压轴题，但从评卷结果以及命题组在考后所做的统计来看，考生选出正确结果的比例尤其是思维正确率并不高，反映出了考生的基本技能以及多种数学思想方法的综合运用能力不容乐观。现以该题为例，谈一谈此题的六种解题策略，供大家参考。

题目：若实数x1满足方程2x+2x=5，实数x2满足方程210g2（x-1）+2x=5，则x1+x2=（）。

A.5/2 B.3 C.7 D.4

策略1：估计零点的范围。

由题意可得2x1+2x1-5=O，210g2（x2-1）+2x2-5=0。

令=0。

由+2>0，得函数f（x）与g（x）在各自的定义域内均单调递增，则两个函数的零点均唯一。

因为f（1）=-10，所以f（1）f（1.5）

因为g（2）=-10，所以g（2）g（2.5）

因此3

评析：对函数零点的取值范围进行估计，操作性强，易于接受。当然，估计也是一种能力，在解选择题时，应鼓励进行有根据的估计。

策略2：构造单调函数。

由题意可知：X2是方程210g2（x-l）+2x=5的实根，则210g2 （x2 -l）+2x2 =5，变形得，则，故：

①

由题意可知：x1是方程2x+2x=5的实根，则，变形得，故：

构造定义在R上的严格单调递增函数f（x）=。

由①和②两式可得，则，故应选c。

评析：从构造单调函数的视角来求解此题的过程中，用到了严格单调函数的一个重要性质：若函数y=f（x）严格单调，且f（a）=f（b），则a=b。

策略3：变换同解方程。

由题意可知：x1是方程2x+2x=5的实根，则：

③

由题意可知：x2是方程210g2（x-1）+2x=5的实根，则，故：

④

令，则，代人④式，可得，故：

⑤

不难发现，当，时，⑤式即为，这与③式是同解方程，所以 ，故应选c。

评析：从变换同解方程的视角来解此题，一定要找到联系前后两个方程的“契合点”。

策略4：利用直接对称。

由，可得。

由，可得

引入函数。

x1是函数 与 的图像的交点的横坐标，x2是函数 的图像的交点的横坐标。

函数 的图像关于直线 对称，直线 与 的交点的坐标为。

设函数 与 的图像的交点的坐标为（ ），函数 与 的图像的交点的坐标为（x2，Y2）。

结合图像（此处略），易知（ ）、（ ）关于点（ ）对称，则 ，故应选c、。

评析：从利用直接对称的视角来求解此题，不仅要会画图，更重要的是要善于分析图形间的关系。

策略5：构造对比等式。

由题意可知：x2是方程 的实根，则 =5，变形得：

⑥

由题意可知：x1是方程 的实根，则，故：

⑦

对比⑥和⑦两式，可得，因此，故应选c。

评析：从构造对比等式的视角来求解此题，需要具备必要的等式变形技巧。

策略6：运用换元对称。

令 ，则题中所给的两个方程可变形为，设这两个方程的根分别为tl、t2。

因为函数 的图像关于直线y-t对称，直线 与直线 垂直，所以函数 与 的图像的交点、函数与 的图像的交点也关于直线y=t对称，所以这两个交点的连线段的中点在直线y=t上。又直线 与直线y=t的交点为（ ），所以 ，所以 ， ，故应选c。

评析：从运用换元对称的视角来求解此题，实则是对前面的策略4作了进一步的改进，使用了换元法，从而解题思路更加简捷、明了。