化归思想在初中数学教学中的应用探析

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【摘要】 本文从化多元为一元、化整体为部分和化函数为方程等三个方面，对化归思想在初中数学教学中的应用进行了阐述说明，以期为培养学生利用化归思想解决实际问题打下良好的基础.

【关键词】 化归思想；初中数学；数学教学；应用途径

数学学科的概念深奥且难于理解，而且数学公式繁多，不利于学生记忆和掌握，而数学思想是培养学生数学思维的有效途径，因此教师在课堂教学中要有意识地培养学生的数学思想.

1. 化多元为一元

初中学生在遇到多元问题的时候，总是感觉毫无头绪，不知从何入手，例如方程或者方程组中含有多个未知数的问题. 如果学生掌握了化归思想，就会发现利用未知数之间关系将多个未知数转化为同一个未知数，题目就会简化许多，问题也会迎刃而解.

例1 如果■ = -■ = ■，则■ = _________.

思路分析 对于含有多个未知数的题目，尽可能地减少未知数的数量为解题的关键，常用方法为加减消元与代入消元. 本题中可以采用引入未知量k，表面上虽然增加了未知数，但是利用未知数之间的关系，可以顺利地达到消元的目的.

解 设■ = -■ = ■ = k，则x = 3k，y = -4k，z = 7k，代入原式可得

■ = ■

= ■ = -3.

总结 以新引入的未知数消去题目中的多个未知数，从而达到将多元问题转化为一元问题的方法，可以有效简化题目的复杂形式，顺利找到问题的答案，此方法为化归思想中解决多元问题的常用方法.

2. 化整体为部分

当数学题目的形式过于烦琐复杂且整体性较强的时候，初中学生很难从中发现其隐含的关系，而利用化归思想中化整体为部分的解题策略，可以帮助学生发现题目中整体和部分之间的关系，从而将其转化为自己熟悉的题目，顺利地找到解题的思路.

例2 解方程■ + ■ + ■ + … + ■ = 1.

思路分析 ①题目中的项数有100项，这实际上是告诉学生以常规的思路去分析题目是行不通的，题目必然有简单的解法；②仔细观察可发现，分母中的后一项都比前一项多1，而每一项都可以拆成两项，两项的差值正好与其相等，如■ = ■ - ■.

解 原式 = ■ - ■ + ■ - ■ + … + ■ - ■.

则由题可知■ - ■ = 1.

化简整理得x2 + 100x - 100 = 0.

解之，得x = ±10■ - 50.

经检验，x为原方程的解.

总结 ① 题目中的拆项看似将题目变得更为复杂化，实则可以通过消项简化题目；② 如果题目中每一项的分母之差为k，则只需在原式前面提取■，如■=■■ - ■，后面找准相消的对应项即可；③分式方程要注意验根，以确定最终结果的正确性.

3. 化函数为方程

函数是初中数学教学中的重难点，也是初中学生在学习和解题中经常出现问题的地方. 借助于化归思想，教师可以将函数问题转化为学生容易理解和熟悉的问题，从而为学生解决函数问题提供有效的思路，例如，将函数问题转化为方程问题.

例3 已知关于x的函数y = （m + 6）x2 + 2（m - 1）x + （m + 1）的图像与x轴始终有交点，求m的取值范围.

思路分析 题目涉及函数图像的问题，如果学生从函数的角度进行分析，则需要画出函数图像，但是由于题目中存在未知数，使得函数图像无法确定. 如果从方程的角度进行分析，思路则会豁然开朗：已知关于x的方程y = （m + 6）x2 + 2（m - 1）x + （m + 1）始终有实数根，求m的取值范围.

解 ①当m + 6 = 0时，即m = -6，方程转化为-14x = 5，方程为一元一次方程，存在实数根，即函数图像与x轴存在交点.

②当m + 6 ≠ 0时，方程为一元二次方程，

Δ = 4（m - 1）2 - 4（m + 6）（m + 1）

= 4（-9m - 5） ≥ 0，

即m ≤ -■.

m的取值范围为m ≤ -■.

总结 ① 函数问题转化为方程问题的时候，要注意保持其意思的相互一致，不能出现题目理解上的偏差；② 如果方程系数中含有未知数，注意分类讨论，保持解题过程的完整性，如题目中的m + 6 = 0和m + 6 ≠ 0.

4. 结束语

总之，初中数学涉及较多的概念和公式，对于初中学生而言，如果没有好的学习方法，很难做到完全理解和掌握. 因此，初中教师在教学中要有意识地培养学生的数学思想，尤其是化归思想，从而在帮助学生养成用数学思维去解决实际问题习惯的同时，使学生可以将数学知识形成系统，进而提高学生的理解能力和解题能力.