例谈分式方程的增根、无解和有解问题

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【摘要】 分式方程的增根、无解和有解是分式方程中常见的三个概念，学生在学习分式方程后，常常会对这三个概念混淆不清，认为分式方程有增根就是分式方程无解或者分式方程没有增根就是分式方程有解，然而事实上并非如此.

【关键词】 分式方程；整式方程；增根；无解；有解

分式方程有增根指的是解分式方程时，在把分式方程转化为整式方程的变形过程中，方程的两边都乘了一个可能使分母为零的整式，从而扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值. 分式方程无解则是指不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等，它包含两种情形：（1）原方程化去分母后的整式方程无解；（2）原方程化去分母后的整式方程有解，但这个解却使原方程的分母为0，它是原方程的增根，从而原方程无解. 分式方程有解则是指存在未知数的值能使方程两边的值相等. 总之，分式方程有没有增根跟分式方程有无解没有必定的关系. 现举例说明：

例1 解方程■ - ■ + ■ = 0.

解 原分式方程两边都乘x（x - 1），

得整式方程5x - （x + 4） + 2（x - 1） = 0，

解这个整式方程，得x = 1.

经检验，当x = 1时，x（x - 1） = 0，所以x = 1是原方程的增根.

所以原方程无解.

点评 显然原分式方程中未知数x必须满足x ≠ 0且x ≠ 1，而转化成相应整式方程中未知数x可以取全体实数，所以当求得整式方程的解x恰好使原分式方程的最简公分母为零时，x的值就是原方程的增根. 故本例题中，x = 1是原方程的增根，原方程无解.

例2 （2001年重庆市）若关于x的方程 ■ - 1 = 0有增根，则a的值为 .

解 原分式方程两边都乘以（x - 1），得整式方程（a - 1）x + 2 = 0. 因为原分式方程有增根，且增根只能是x = 1，所以x = 1是相应的整式方程的解，所以把x = 1代入整式方程，得a = -1. 所以当a = -1时原分式方程有增根.

点评 分式方程有增根，跟分式方程有解或无解没有必然关系，有增根只是说明分式方程转化成相应的整式方程必须有解，且存在某个（或几个）解代入分式方程的公分母等于零，即不是原分式方程的解，则成为原方程的增根. 换言之，增根指的未知数的值是分式方程转化相应整式方程的解，但不是原分式方程的解.

例3 （2002年孝感市）当m为何值时，关于x的方程■ - ■ = 1 + ■无解.

解 原分式方程两边乘x（x - 1），得整式方程x2 - x + 2 - m = 0.

若要使原分式方程无解，有下面两种情况：

① 相应的整式方程无解，即x2 - x + 2 - m = 0无解. 故Δ = （-1）2 - 4（2 - m） < 0，得m < ■；

② 相应的整式方程有解且均为原分式方程的增根时，原分式方程无解，而原分式方程的增根只能为x = 0或x = 1，把x = 0或x = 1分别代入整式方程得m = 2.

综上所述：当m < ■或m = 2时，所给方程无解.

点评 分式方程无解，可能有两种情况，一种是转化成的整式方程无解，则原分式方程必然无解；另一种是转化成的整式方程有解但代入分式方程不成立，即分式方程无解. 换言之，分式方程无解，相应的整式方程也无解或者即使有解那也只能是增根. 所以增根并不是分式方程无解的唯一原因，分式方程无解跟分式方程是否存在增根没有必然的关系. 例4 （2003年南昌市）已知关于x的方程■ - ■ = m有解，求m的取值范围.

解 原分式方程两边乘x（x - 1），得整式方程mx2 - x + 1 = 0.

若要使原分式方程有解，只要相应整式方程有解且至少有一个解是原分式方程的解，即至少有一个解不是原分式方程的增根即可.

① 当m = 0时，相应的整式方程的解为x = 1，显然x = 1是原分式方程的增根，即不是原分式方程的解，所以m = 0应舍去.

② 当m ≠ 0时，相应的整式方程要有解，则Δ = 1 - 4m ≥ 0，即m ≤ ■.

由于原分式方程的增根只可能为x = 0或x = 1，当x = 0时，相应的整式方程不成立；当x = 1时，m = 0.

综上所述：当m ≤ ■且m ≠ 0时，原分式方程有解.

点评 分式方程有解，则转化成相应的整式方程必须有解且存在满足分式方程成立的非增根. 所以分式方程有解跟分式方程是否存在增根没有必然的关系.

解分式方程的一般步骤是：把方程的两边都乘最简公分母，约去分母，化成整式方程；若未知数的值是相应整式方程的解但代入原分式方程不成立，则该值是原分式方程的增根；分式方程无解包括两种情况：一是相应的整式方程无解，二是整式方程有解但对原分式方程来说也只是增根，即分式方程无解跟是否存在增根没有必然的关系；分式方程有解则相应的整式方程必须有解，且必须存在某些根代入分式方程成立，而是否存在增根没有必然的关系.

弄清分式方程的增根、无解和有解的区别和联系，能帮助我们提高解分式方程的正确性，对判断分式方程解的情况有一定的指导意义.