关于算术平方根的引入

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【摘要】《算术平方根》一节的教学重点是理解算术平方根的意义，难点是它的求法及符号的表示，关键是算术平方根“a（a≥0）”的引入.现行教材对算术平方根“a”的引入设置欠佳，为什么要引入符号“”的说理太形式化，与之相关的预备知识铺垫太少，文中给出了处理这个问题的教学建议.

【关键词】算术平方根；根号

《算术平方根》一节的教学重点是理解算术平方根的意义，难点是它的求法及符号的表示，关键是算术平方根“a（a≥0）”的引入.现行教材的内容编排设计各有异同，有的是先讲平方根，再讲算术平方根，如华师版；有的是先讲算术平方根，再讲平方根，如人教版.不管是先讲平方根，还是先讲算术平方根，不同版本的教材对算术平方根“a（a≥0”的引入设置均欠佳，对根号“”出现的“时机”没有把握好，为什么要引入符号“”的相关的预备知识铺垫太少.如果按照教材中的“刚性规定”行事就是，就会使得老师教地费劲，学生学了之后也是云里雾里.本文给出了处理这个问题的教学建议，与同行交流.

通过多年的教育教学实践，笔者认为应该依据知识发生、发展的层次为主线进行教学.首先弄清楚根号的来由，即为什么要引入符号“”，然后解决算术平方根a的性质及其它的求法，最后探究含有符号“a”，如2是数吗？它是一个什么数的问题.

“数学是从人的需要中产生的”，数学中的命名大都是有来由的.我们先来看看负号是怎样引入的（教学片段）.

例如（北师大版教材），不同时刻温度计上出现过两个刻度（如右图），一个是零上3℃，另一个是零下5℃.温度计上的“零上”与“零下”的意义是相反的，这就是说，零上3℃与零下5℃是具有相反意义的量，为了解决这两个具有相反意义的量我们怎样处理呢？

如果把零上3℃，记作+3℃，符号“+”就是小学学过的加号，在这里我们读作“正号”（我们把学过的加法运算符号“+”，赋予新的意义，称为性质符号），那么零下5℃，怎样记录呢？

规定1在5℃的前面加入一个“-”号，即-5℃，也就是说，零下5℃，记作-5℃，符号“-”读作“负”，就是小学学过的减法运算符号“-”.

这样，我们在小学里学过的数的前面加上一个“-”号，就得到一类数，我们把这类数叫做负数.

像3，1，2，13，…这样的数叫做正数，或者说，大于0的数叫做正数；在正数的前面加上“-”号的数，像-5，-1，-2，-13，…这样的数叫做负数.

特别地，+0，-0还是0，也就是说0既不是正数也不是负数.

教学设计到这里，负号“-”引入的问题就解决了，从而产生了一批新数――负数.这样的教学呈现，适合初一学生的认知规律.有了这样的知识经验为基础，在后面学习《算术平方根》一节内容时应该效法模仿，也就是说，本节课引入算术平方根概念应该设置一个悬念，使得不引入符号“”，就没法把问题得到圆满地解决.通过在解决实际问题的过程中，感受引入符号“”的必要性，感知这样的数a（a≥0）存在的合理性，为此，这节课笔者是这样处理的（教学片段）.

请同学们阅读以下部分内容（人教版）.

问题1学校要举行美术作品比赛，小鸥很高兴.想裁出一块面积为25dm2的正方形画布（图略），画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？并填表.

正方形的面积191636425边长学生通过阅读教材，很容易得出答案.

师：说一说，你是怎样算出来的？

生：这块正方形画布的边长是5dm；表中的边长依次是：1，3，4，6，25.计算结果的理由分别是：.因为52=25，所以这个正方形画布的边长是5dm；

同理，因为12=1，所以正方形的边长是1dm；……

师：上面的问题，实际上是已知一个正数的平方，求这个正数的问题.

问题2如果正方形的面积是2dm2，3dm2，那么它们的边长分别是多少？

教师留出一段时间让同学们讨论，看看能不能给出满意的答案.提出问题2是本节课教学的核心问题，是引入根号的问题本源.

师：也就是说，什么数的平方等于2，什么数的平方等于3呢？在这里，我们没有找到任何一个整数或分数的平方等于2，即无法找到一个有理数，使它的平方等于2，也无法找到一个有理数，使它的平方等于3，这怎样办呢？

为了确定一个数，使它的平方等于2；寻找一个数，使它的平方等于3.

规定2在平方数2的上面，放上符号“”来表示，记作2，即（2）2=2.

这里的符号“”读作“根号”，2读作“根号2”.

同理，（3）2=3.

答：正方形的边长分别是2dm和3dm.

师：有了这个规定，我们“已知一个正数的平方，求这个正数的问题”是不是更简单了，只要在这个正数上盖上一个符号“”就可以了.

由此，我们给出算术平方根的概念.

算术平方根的定义一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根，记作“a”，读作“根号a”，a叫做被开方.

也就是说，如果x2=a，那么正数x=a（a≥0）.

特别地，0的算术平方根是0，即0=0.

问题3负数有没有算术平方根？比如-2的算术平方根是多少？

谁的平方等于-2，即（？）2=-2呢？对于这个问题，现阶段我们是不可能找到一个数的平方等于一个负数，这是因为根据“同号得正，异号得负”的乘法法则，知道（？）2=-2，即（？）×（？）=-2是不可能的.

师：没有，即负数没有算术平方根.

此时，有的学生会联想到，“找不到这样的数，使得（？）2=-2”，是不是我们再来一次规定啊？有学生提出时，就告诉学生到了高中阶段，是再次规定某个数的平方等于一个负数，即i2=-1，学习要努力噢！学生没有提出时，就不要告知学生，不然就会画蛇添足了.

算术平方根的性质（即时小结）：

（1）一个正数的算术平方根是正数；

（2）0的算术平方根是0；

（3）负数没有算术平方根.

巩固算术平方根的定义（例题讲解）.

例题求下列各正数的算术平方根

（1）4；（2）49；（3）001；（4）179；（5）6；（6）7；（7）10.

解：（1）因为22=4，所以4的算术平方根是2，即4=2；

（2）因为72=49，所以49的算术平方根是7，即49=7；

（3）因012=001，所以001的算术平方根是01，即0.01=01；

（4）因为179=169=（43）2，所以179的算术平方根是43，即179=169=43；

（5）6的算术平方根是6；

（6）7的算术平方根是7；

（7）10的算术平方根是10.

教学设计到这里，为什么要引入根号的问题就解决了，从而产生了一批新数――无理数.

我们利用该例题的教学资源，顺势利导来认识无理数（建议放在第二个教学课时里来解决，包括后面的问题4.接受新概念时要讲解得慢一些，这有利于学生的知识消化与归纳）.

通过例题的解题过程，我们发现：

（1）能找到一个有理数x，使得x2=a，就把x直接求出来，写成x=a（a≥0）时，可以把根号化简掉，如例题中的（1）～（4）小题，它们是有理数；

（2）找不到一个有理数x的，就给a盖上个根号“”，即x=a（a≥0）来表示，如例题中的（5）～（7）小题，它们是无理数.

像2，3，7，10，…这样的数，我们叫做无理数（让学生感知无理数）.

（3）由例题的计算结果可以看出，a（a≥0）是一个数，它可能是有理数，也可能是无理数，这就是说，含有根号的数不一定都是无理数.

问题4每一个无理数有多大呢？比如“2有多大呢？”此略（课本在“探究”栏目里，利用“有理数两边夹逼近无理数”，对2进行了估算，通过估算让学生接受无理数）.

结论：2是一个无限不循环小数.

同理，可以验证3，6，7，10等都是无限不循环小数.

此时，给出无理数的定义：无限不循环的小数叫做无理数.

教学设计到这里，含有符号“a”是一个什么数的问题就解决了.

总之，通过回顾以往知识经验，形成认知冲突，归纳抽象概念，举例巩固概念的处理方法，教学效果比较好.

千教万教照本宣科等于白教，千法万法不顾学情等于无法.教师要细心研读教材，在吃透教材的基础上，依据学生的认知特点，大胆重组教材，活用教材，开发教材，体现因材施教的教学原则，让数学课堂更充实、更精彩.