新三角形与其内接三角形相似的条件及性质

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《数学通报》刊文《三角形与其内接三角形相似的条件》[1]，读后很受启发.针对文末提出：对于内接三角形与原三角形“对应顶点共边”情形，有待我们进一步探究的问题.本文利用几何画板工具，从特殊到一般的方法予以探究，通过逻辑证明，获得这种相似需要的条件以及具有的独特性质.

如果一个三角形的三顶点分别在另一个三角形的三边上，我们把前者称为后者的内接三角形，如果这两三角形相似，我们把前者称为后者的内接相似三角形.

如果三角形与其内接三角形相似，那么按照下列对应顶点之间的位置关系，划分为两大类型：

（1）三对对应顶点分别位于内接三角形相应边的两侧.不妨称这种相似为对顶内接相似.为文[1]探究的类型.

如图1，DEF是ABC的内接三角形，DEF∽ABC，三组对应顶点都不共边.则DEF是ABC的对顶内接相似三角形.

特例：中点三角形是原三角形的对顶内接相似三角形.

图1图2（2）有两组对应顶点分别共边，第三组对应顶点不共边（相对），不妨称这种相似为共边内接相似.称共边及对应边为侧边，第三组对应边为正边.此为本文探究的内容.

如图2，DEF是ABC的内接三角形，DEF∽ABC，且对应顶点B、E及C、F分别共边，对应顶点A和D不共边.则DEF是ABC的共边内接相似三角形.

特例：三角形两边中点及第三边高的垂足组成的三角形称为中足三角形.中足三角形是原三角形的共边内接相似三角形.

思考：对于共边内接相似三角形，如果EF∥BC，那么DEF三顶点的位置如何？

图3如图3，因EF∥BC，所以∠1=∠B，∠2=∠5.又已知DEF∽ABC，所以∠2=∠B.于是∠1=∠2.同理，∠3=∠4.又EF=EF，所以AEF≌DEF，得AE=DE，同理，AF=CF.所以EF为中位线.又∠B=∠5，所以BE=DE，得AE=BE，根据三角形一边上的中线等于这边的一半，这个三角形为直角三角形，推得∠ADB=90°.

综上，点E、F为ABC两边中点，点D为BC边高的垂足.

定理1如果两个三角形共边内接相似，且内接三角形仅有一个顶点是原三角形边上高的垂足（另两顶点不是中点），那么原三角形是直角三角形.

图4证明如图4，ADBC于D，DEF∽ABC，作中位线QR，分别连结DQ、DR，设EF与QR交于点H，连结DH.易得DQR∽ABC，所以DEF∽DQR，所以∠DEH=∠DQH，所以D、H、E、Q四点共圆，则∠EDH=∠EQH=∠DEH，所以EH=DH.同理，FH=DH.

所以EH=FH=DH=12EF，所以∠EDF=90°.进一步，推得∠BAC=90°.即ABC为直角三角形.

定理2两个直角三角形共边内接相似的充要条件是内接三角形的直角顶点为斜边上高的垂足.

图5图6证明①必要性：如图5，因ABAC，AGBC于G，所以∠CAG=∠B，又DEF∽ABC，所以∠DEF=∠B，所以∠CAG=∠DEF.由∠BAC+∠EDF=180°，得A、E、D、F四点共圆，所以∠CAD=∠DEF，推得∠CAD=∠CAG，因AD=AG，所以直角顶点D与垂足G重合.

充分性：如图6，因∠EDF=90°，又∠BAC=90°，所以A、E、D、F四点共圆，所以∠1=∠2，又ADBC，所以∠2=∠B，所以∠1=∠B.所以DEF∽ABC.

性质1如果两个直角三角形共边内接相似，那么原三角形垂直于斜边高的中位线平分内接直角三角形的斜边.

图7证明如图7，点D在斜边BC上，且RtDEF∽RtABC，由定理2必要性证明可知，ADBC.因QR橹形幌撸所以RQ∥BC，推得QR垂直平分AD.因∠EAF+∠EDF=180°，所以A、E、D、F四点共圆，所以EF为该圆直径.根据垂直平分弦的直线必过圆心.即点H为EF的中点.

定理3两个锐角三角形共边内接相似的充要条件是原三角形正边上的高经过内接三角形的垂心.

证明必要性：如图8，过点A作APBC于P，设点O为DEF的垂心，连结AO并延长交BC于P′，则ABP∽ABP′，因AB=AB，所以ABP≌ABP′，所以BP=BP′，点P与P′重合，则AP与AP′重合，即高AP经过垂心O.

图8图9充分性：如图9，EMDF于M，FNDE于N，设EM与FN交于点O，则O为DEF的垂心，APBC于P，点O在AP上，易得O、M、D、P、N五点共圆.分别取AB、AC的中点Q、R，所以QR∥BC，则ABC∽PQR.推得∠DMN=∠BPQ=∠PQR=∠B.∠MND=∠MPD=∠PRQ=∠C.

又E、F、M、N四点共圆，则∠DNM=∠DFE，∠DMN=∠DEF.所以∠B=∠DEF，∠C=∠DFE，所以ABC∽DEF.

性质2如果两锐角三角形共边内接相似，那么原三角形平行于正边的中位线必定平分内接三角形的正边且内接三角形两侧边上的高的垂足分别落在中足三角形相应侧边上.

证明①如图10，已知DEF∽ABC，过点E作EG∥AB交BC于G，连结AG交EF于H′，连结FG，则∠EFD=∠B=∠DGE，所以D、E、F、G四点共圆，所以∠BFG=∠EGF=∠EDF=∠BAC，所以FG∥AC，所以四边形AEGF为平行四边形，所以EH′=FH′，AH′=GH′，又AR=BR，所以RH′是中位线，则RH′∥BG，又RH∥BG，所以点H和H′重合，即EH=FH.

图10图11证明②如图11，已知APBC于点P，DEF∽ABC，又中足PQR∽ABC，所以DEF∽PQR.设RP、DF交于点M，QP、DE交于点N，连结LM、LN，因∠QRP=∠EFD，所以R、F、M、L四点共圆，所以∠LMF=∠ARQ=∠EFM，得FL=ML.同理，EL=NL.又∠MPN=∠MDN，则M、P、D、N四点共圆，所以∠NMD=∠NPD，又∠NPD=∠C，所以∠NMD=∠C.又∠LMF=∠B，由∠A+∠B+∠C=180°，∠LMF+∠LMN+∠NMD=180°，得∠LMN=∠A.同理，∠LNM=∠A，所以∠LMN=∠LNM，所以ML=NL，则EL=FL.连结EM、FN.在EFM中，ML=12EF，所以∠EMF=90°，即EMDF，垂足在M在DF上.同理，FNDE，垂足N在DE上.

如果将ABC换作钝角三角形，同样可证，只需将有关线段或边换作有关线段或边所在的直线即可.于是，得到如下结论：

定理如果任意两个三角形共边内接相似当且仅当正边对应的原三角形边上的高经过内接三角形的垂心.

性质3如果任意两个三角形共边内接相似，那么原三角形中平行于正边的中位线必定平分内接三角形的正边.且内接三角形两侧边上的高的垂足分别落在中足三角形相应侧边所在直线上.

本篇作为文[1]的姊妹篇，比较系统的认识和揭秘了三角形与其内接三角形另类相似的有关判定和性质，两文结果相得益彰.

参考文献

[1]贺基军.三角形与其内接三角形相似的条件[J].数学通报，2014（10）：60-62.