几何概型中易出错的角度问题

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摘 要 在普通高中课程标准实验教科书必修三第三章的学习中，我们遇到一类利用角度度量的几何概型。在这类问题中，我们极易出现错误，我们误将用角度解决的问题用长度代换了。下面是在教学过程中出现的几个问题及学生的错解对比，在比较中看错误的原因。

关键词 角度 几何概型

中图分类号：G633.63 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2015）23-0056-02

几何概率定义：设 是某一有界区域，（可以是一维空间的，也可以是二维、三维空间的）向 中随机投掷一点M，如果点M落在 中任一点是等可能的（或说是均匀分布的），则说这个试验是几何概型。

对于几个可行试验，事件A=“点M落在区域A 中”的概率，定义为P（A）=

这里的测度指长度 、面积 、体积等。

1.几何概型的两个特征

（1）试验结果有无限多；

（2）每个结果的出现是等可能的。

事件A可以理解为区域 的某一子区域，事件A的概率只与区域A的度量（长度、面积或体积）成正比，而与A的位置和形状无关。

2.解决几何概型的求概率问题关键是要构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何度量来求随机事件的概率。

3.用几何概型解简单试验问题的方法

（1）适当选择观察角度，把问题转化为几何概型求解；

（2）把基本事件转化为与之对应的总体区域D；

（3）把随机事件A转化为与之对应的子区域d；

（4）利用几何概型概率公式计算。

在几何概率中有一类用角度解决的问题，解决中极易产生错误。那教师在讲解过程中我们应该讲解清楚那些问题才能避免错误。我们讲解时应从三方面入手：

1.基本事件为长度、面积还是体积；2.画出相应图像从图像中对照分析；3.以典型例题的错解进行分析让学生体会怎么发生的错误。

学生在解决问题时需注意：

1.认真审题从题目中找出基本事件为长度、面积还是体积；2.做出图像进行辅助分析。

例1.已知直线l过点（-1，0），l与圆C：（x-1）2+y2=3相交于A、B两点，则弦长|AB|≥2的概率为____________。

解析：

错解1：0

错解2：设圆心到直线l的距离d，因为l与圆相交，所以0

又|AB|≥2，即2≥2 0

|AB|≥2的概率P==

正解：如图

当直线介于l1、l2之间时，直线l过点（-1，0）且于圆相交，∠ADB=120埃|AB|≥2，则直线l应介于l3与l4之间，l3、l4的夹角为90埃P==。

评注：错解1、错解2，在解题过程中都忽略了直线过点（-1，0），从而把角度问题错当为长度问题。

例2.如图，在等腰直角三角形ABC中，过直角顶点C在∠ACB内部作一条射线CM，与线段AB交于点M，求AM

解析：

错解：设AC=BC=1，则AB=。

AM

AM

正解：当AM=AC时，即∠ACM=∠AMC=67.5？

AM

故P==

评注：错误原因，将题设在∠ACB内部作一条射线CM，用在AB上取一点，M连接CM进行了代换，范围发生了改变。

小结：在几何概型中涉及角度问题时，较易发生错误，错误的主要原因是我们在计算时将角度用长度进行了代换，而我们知道相同的圆心角所对的弧长和弧长是不相等的，从而发生了错误。从上面的例题错解中我们发现当我们画出图像进行分析就不易产生错误。