一个实物期权例子求解方法的辨析

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The Discrimination of the Solution to an Real Options Example

Huang Xueting

（School of Economics，Shanghai University，Shanghai 200444，China）

摘要：对注会教材《财务成本管理》关于时机选择期权例子中计算报酬率方法的错误进行了讨论，指出了应该采用的正确方法，并对该例进行了重新计算与分析。

Abstract: The errors about the equation of the total return on the underlying asset in an timing options example in the CPA's teaching materials: "Financial Management and Cost Management" are discussed, an appropriate method is pointed out, and this example is computed and analyzed using the right method.

关键词：实物期权 风险中性概率 报酬率 二叉树法

Key words: real options；risk-neutral probabilities；total return；binomial tree

中图分类号：F23 文献标识码：A文章编号：1006-4311（2011）14-0159-02

0引言

由中国注册会计协会编写的、2010年度注册会计师全国统一考试辅导教材《财务成本管理》中关于时机选择期权的一个例子（见文献[1]中例10-17，第275-277页），对上行报酬率和下行报酬率求解方法有误，以致风险中性概率和期权价值的结果均存在很大偏差。本人查阅了网上的“2010年注册会计师《财务成本管理》教材勘误表，未见关于该案例错误的更正。鉴于这一错误属于方法上的，因此有进一步辨析的必要。

1原例概述

该教材例10-17[1]：DEF公司拟投产一个新产品，预计投资需要1000万元，每年现金流量的期望值为105万元（税后、可持续），项目的资本成本为10%，无风险利率为5%。假设一年后可以判断出市场对产品的需求，如果新产品受顾客欢迎，预计每年现金流量为131.25万元；如果不受欢迎，预计每年现金流量为84万元。由于该项目可以延迟一年，根据到时的市场状况决定是否投产，因此该项目赋予企业一个欧式买权，该公司现在通过比较立即执行的净现值和这一欧式期权的价值孰大，做出立即投资还是等待的决策。

①该项目立即执行的净现值=105÷10%-1000=50（万元）。

②利用二叉树方法求解这一期权的价值。

首先，确定1年末期权价值。上行时期权价值=上行时项目价值－执行价格=（131.25÷10%）－1000=312.5（万元），下行时项目价值为840（即84÷10%）万元，低于投资额1000万元，应当放弃，期权价值为零。

其次，计算风险中性概率。

报酬率=（本年现金流量+期末价值）÷年初投资－1（1）

上行报酬率=（131.25+1312.5）÷1000－1=44.38%，下行报酬率=（84+840）÷1000－1=-7.6%，从而

无风险利率=5%=上行概率×44.38%+（1-上行概率）×（-7.6%）

上行概率=0.2424

最后，计算当前期权价值。期权到期日价值=0.2424×312.5+（1-0.2424）×0=75.75（万元），当前期权价值=75.75÷1.05≈72.14（万元）。

③判断是否延迟投资：立即进行该项目的净现值为50万元；如果等待，期权的价值为72.14万元，因此应当等待。

该举例进一步指出等待不一定总是有利的。假定本项目投资成本为950万元这一情形。此时立即执行的净现值=105÷10%-950=100（万元），根据本例提供的报酬率的计算方法，即式（1），可得上行报酬率为51.9737%，下行报酬率为-2.7368%，上行概率为0.1414，从而当前的期权价值为48.82万元。由于该期权价值小于立即执行的价值，由此得出该情形下应该立即进行该项目而非等待的投资决策。

2正确的报酬率计算方法

在用二叉树方法对实物期权定价时，标的资产的报酬率应为[2]、[3]：

报酬率=（本年现金流量+期末项目价值）÷年初项目价值－1（2）

此式与式（1）的区别在于计算报酬率所用的除数不同。

计算报酬率使用年初项目价值的依据是：在利用二叉树法计算期权价值时，上行乘数（记为u）和下行乘数（记为d）分别代表的是标的资产在一定时间内的价值（包含期间由标的资产带来的现金流）增长比率和下降比率，而u-1和 d-1分别对应的是上行报酬率和下行报酬率。正是对u和d的这一界定，按照投资组合复制方法和无风险套利假设，才得出上行概率（记为p）为：p=■（3）

或p=■（4）

其中T为欧式买权的到期时间，r为无风险利率，式（3）和式（4）分别是基于连续复利和非连续复利假设的。

对于式（4），若T=1，则有r=p×（u-1）+（1-p）×（d-1）（5）

式（5）正是计算风险中性概率的一个常用的表达式：无风险利率=上行概率×上行报酬率+（1-上行概率）×下行报酬率。

期权作为衍生品之一，其价值依赖于标的资产的价值。同样，实物期权的价值依赖于其标的资产――投资项目的价值。由于投资项目不存在交易价格，其价值是按照贴现现金流法计算得出，它代表的是该项目自身产生的现金流在金融市场上的真正价值[4]。与金融资产的当前价格即是投资者的投资支出不同，投资项目的价值与该项目所需的投资额是完全不同的两个概念。对于具有战略优势、技术、专利以及成本优势等因素的企业，可以较低的项目投资额取得较大的项目价值，即拥有净现值大于零的项目。

3错误的报酬率计算方法得出的常识性错误

由于该教材例10-17中将标的资产的报酬率由所需投资额计算得出，必然带来如下三点在期权定价中属于常识性的错误。第一，对既定的投资项目，其风险中性概率是一定的，不会因所需投资额的不同而不同，然而该例子中针对同一投资项目却出现了两个上行概率。第二，无论是标的资产还是其衍生资产，对以风险中性概率计算的期望价值再用无风险利率进行折现，得到的必然是它的当前价值。然而，用该例中的风险中性概率计算得到的只能是项目的投资额，而非项目的当前价值，以此计算出的期权价值也必然是错误的。第三，启动项目的投资支出在期权定价中属于期权的执行价格，对于购买期权来说，期权价值与执行价格呈反向变化，而该例中却出现了项目投资成本为1000万元对应期权价值较大（72.14万元）、项目投资成本为950万元对应期权价值较小（48.82万元）的怪现象。

4对该例子的重新计算及分析

4.1 该项目的现值、立即执行的净现值以及一年末上行期权价值和下行期权价值的计算均同原例。

4.2 计算风险中性概率

根据式（2），上行报酬率=（131.25+1312.5）÷1050－1=37.5%，下行报酬率=（84+840）÷1050－1=-12%，从而

无风险利率=5%=上行概率×37.5%+（1-上行概率）×（-12%）

上行概率=0.3434

4.3 计算投资成本为1000万元时的期权价值

期权到期日价值=0.3434×312.5+（1-0.3434）×0≈107.31（万元）

当前期权价值=107.31÷1.05=102.2（万元）

这一结果比教材中的72.14万元多了近41.67%！

4.4 计算假定投资成本为950万元时的期权价值

在这一假定下，一年末上行时期权价值=（131.25÷10%）-950=362.5（万元），下行时期权价值为0，期权到期日价值=0.3434×362.5+（1-0.3434）×0=124.48（万元）。当前期权价值=124.48÷1.05≈118.55（万元）。这一结果更是比书中的结果（48.82万元）高出了近143%！由于在项目的投资成本为950万元假设下，项目立即执行的价值为100万元，而按书中报酬率的计算方法，当前期权价值仅为48.82万元，因此得出应立即执行、无须等待的决策。事实上，在该项目这一投资水平假设下，当前期权价值为118.55万元，等待仍是明智的决策。

4.5 立即进行该项目所要求的投资成本

假设本项目的投资成本为x万元，立即进行该项目的净现值为：（105÷10%）-x=1050-x（万元）。

①假设项目投资成本界于项目当前现值（1050万元）与期末下行项目价值（840万元）之间，即840

[（1312.5-x）×0.3434+0×（1-0.3434）]÷1.05

由此式可得，840

②假设项目投资成本不大于期末下行项目价值（840万元），那么，立即进行该项目所要求的投资成本x必满足：

[(1312.5-x)×0.3434+(840-x)×(1-0.3434)]÷1.05

此式对不大于840万元的任何投资额均成立。

综合上述（1）、（2）分析，就该项目而言，只要投资成本小于922.43万元，推迟投资这一期权的价值均小于立即执行该项目的价值，应当立即进行该项目。

参考文献：

[1]中国注册会计师协会编.财务成本管理[M]，北京：中国财政经济出版社，2010：275-277.

[2]（英）查里德 A.布雷利，（美）斯图尔特 C.迈尔斯.公司财务管理（英文版，第八版），北京：机械工业出版社，2006：600-603.

[3]John C.Hull.期权、期货和其他衍生品（英文版，第四版），北京：清华大学出版社，2003：213-215.

[4]Richard L. Shockley, Jr.,An Applied Course in Real Options Valuation, Thomson South-Western,2007:3-5,27.