动点中的最值问题

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【摘要】 动点与定点的关系：一个动点在定直线上运动与两个定点，一个定点与定直线，一个定点与两条定直线最值问题.

【关键词】 动点；最值

初中数学的动点问题是学生学习的难点，但动点问题大多是中考必考点，体现数学的区分度. 笔者从三方面去探究初中的动点问题，达到最值问题的解决. 动点与定点的关系：一个动点在定直线上运动与两个定点，一个定点与定直线，一个定点与两条定直线最值问题.

一、一个动点在定直线上运动与两个定点

例1 两个村庄甲（图中E点）、乙（图中D点）在一条小河（图中AB所在的直线代表小河）的同侧，如图1，要在小河边建一座水泵站，向甲、乙两村庄供水，为使到两村庄铺的水管最短，在小河边找出新修建水泵的位置. 请画图说明，若甲、乙到小河岸边的距离EA，DB分别是300米、500米，甲、乙两村庄的水平距离是600米，求要铺水管多长.并求出■ + ■的最小值.

分析 将数学应用问题转化为数学模型的建立. 这是在一条定直线（小河河岸AB所在的直线）上找一点，使到两个定点（甲、乙两个村庄代表两个定点）的距离最短. 以定直线为对称轴，将定点中的一个（如图中的D点）作它的对称点移到对称轴的另一侧D′，连接这两点ED′交AB于F点，求出它的长度ED′即可.

二、一定点与一定直线

例2 如图2，在角平分线OJ上找一点H，使到OD上一点C的距离最短，A是OD上的定点，使HA + HC的距离最短.

分析 因为角平分线所在的直线是它的对称轴，则转化为一个定点在角的一边上，在角平分线上和定点所在的直线上找两点，使它们的和最短. 根据“从直线外一点向直线所作的线段中，垂线段最短”的原理，过定点A向角的另一边OE作垂线段AB，再作B点的关于对称轴OJ的对称点C点，交OD于C点，连接HC，HA，所以HC + HA为最短.

变式：OA = 50，∠EOD = 45°，求出HC+HA的长度.

三、一个定点与两条定直线

即一个定点在两条直线上，找一点使路程的和最短.

例3 如图3，一位牧民从家中A要把马迁到牧场（DE所在的直线）去吃草，再到河边FG所在的直线河岸去喝水，再回到家中，要使走的路径最短， 应怎样走？

分析 这是一个定点与两条直线的最短问题，先作定点A关于直线DE的对称点H，再作A点关于河岸FG所在的直线的对称点I，连接HI，分别交DE，FG于B，C两点，B，C即为所求的最短点.

变式：如图4，∠EOB = 45°，OP = 10，求PFG周长的最小值.

分析 P点是定点，OE，OB是定直线. 作出点P关于直线OE，OB的对称点.连接这两个对称点分别交OE，OB于F，G两点，连接PF，PG.这两个对称点的长度即为所作PFG周长的最小值. 利用勾股定理求出长度.