一则数学故事的质疑与探究

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北京师范大学出版社出版的义务教育课程标准实验教科书六年级《数学》上册中，在“比的应用”一节给出了阿凡提分马的故事. 该故事是：

一位老人有11匹马，临终前，对三个儿子说，老大、老二、老三分别继承我11匹马的■，■和■. 老人过世后，兄弟三人怎么也不能把这11匹马分得整数匹. 正在三兄弟犯愁时，阿凡提牵着自己的1匹马走了过来，对三兄弟说：“加上我这匹马，你们就知道怎么分了.”于是三兄弟按12匹马来分，老大分了12匹马的■，分得了6匹马；老二分得了12匹马的■，分得了3匹马；老三分得了12匹马的■，分得了2匹马，6 + 3 + 2刚好为11匹马. 三兄弟把11匹马整匹分了后，归还了阿凡提的1匹马.

笔者认为，这道题选编在“比的应用”一节有些勉强.

一、质 疑

上面的解法说明，若按求一个数的几分之几是多少直接求算，三兄弟不能分得整数匹马，加入阿凡提的一匹马后再用同样的方法求算，刚好整匹分之，且阿凡提的马不会被分之. 即加入一匹马后三兄弟分之，可以凑得每人分整数匹马.

这道题作为名题流传至今，是由于阿凡提的一匹马起了“铺垫”作用，“参分而未分”.

以上两点给人们的印象，似乎阿凡提的分法是巧妙的. 如果我们引导学生用质疑的眼光看待阿凡提的分法，会发现有下列几点不能自圆其说.

（1）11匹马改为12匹马，理由是什么. 假设上例问题中的马不是11匹，而是12匹或13匹，又该如何求算？

（2）对结果的检验不合理，缺乏逻辑性. 检验应该按问题的类属检验，而不只进行简单的加和验算. 既然把问题按“求一个数的几分之几是多少”来处理，就应看11的■，■，■是否等于分得的结果6，3，2，显然不等，而不能仅仅看6 + 3 + 2等于11.

（3）解题时按“求一个数的几分之几是多少” 求算，怎么会得到11的■，■，■分别为6，3，2呢？这一点往往令学生费解，学生提出质疑，老师未必能三言两语释其所以然来.

（4）能否将每匹马按市场价计算，若分不得整数匹马，采用找补差价的办法以求得整数匹马？

二、探 究

笔者认为，这类问题应化为“按比例分配”问题，不应放在“比的应用”一节，或不应化为“求一个数的几分之几是多少”类问题来研究. 就是说，上题中的■，■，■是指三兄弟分得的马匹数之比，即不论三兄弟各自分得多少，也不论各自是否能分得整数匹马，三兄弟分得的马匹数应符合■ ∶ ■ ∶ ■，这样的理解学生容易接受.

求解如下：

■ ∶ ■ ∶ ■ = 6 ∶ 3 ∶ 2，6 + 3 + 2 = 11.

老大分得：11 × ■ = 6（匹）；老二分得：11 × ■ = 3（匹）；老三分得：11 × ■ = 2（匹）.

经验算，答案是合理的.

把问题归属为“按比例分配”问题，具有以下方便之处.

（1）不论各分数之和大于1、等于1或小于1，其解法是一致的，即解法具有广泛性. （2）不需改变标准量（如上题的11匹即为标准量）. （3）避免自相矛盾，能合理解释答案. （4）如果用“按比例分配”法不能求得整数结果，那么用“阿凡提法”――改变标准量的方法肯定也得不到整数结果.

例1 一牧民欲把17匹马分给甲、乙、丙三人，分给甲一半，分给乙三分之一，分给丙九分之一. 问：甲、乙、丙各分得几匹马？

解 虽然■+ ■ + ■ = ■ < 1，不需改变标准量可解之：■ ∶ ■ ∶ ■ = 9 ∶ 6 ∶ 2，9 + 6 + 2 = 17，

则甲分得：17 × ■ = 9（匹），乙分得：17 × ■ = 6（匹），丙分得：17 × ■ = 2（匹）.

模仿“阿凡提法”，加1匹马，按18匹马分：

甲分得：18 × ■ = 9（匹）；乙分得：18 × ■ = 6（匹）；丙分得：18 × ■ = 2（匹）.

例2 把13个苹果分给三位小朋友，笑笑分■，小军分■，淘气分■，每位小朋友各分得多少苹果？

解 ■ + ■ + ■ = ■ > 1，不需改变标准量，用“按比例分配”法解之：

■ ∶ ■ ∶ ■ = 6 ∶ 4 ∶ 3，6 + 4 + 3 = 13.

很明显，笑笑分得6个、小军分得4个、淘气分得3个苹果. 或计算如下：

笑笑分得：13 × ■ = 6（个）；小军分得：13 × ■ = 4（个）；淘气分得：13 × ■ = 3（个）.

若模仿阿凡提的解法，这时不用“加1”，而用“减1”法来改变标准量. 从13个苹果中取走1个，按12个苹果分配：

12 × ■ = 6（个），12 × ■ = 4（个），12 × ■ = 3（个）.

为什么“减1”？是为了分得整数，且凑得6 + 4 + 3 = 13.