小议抽象函数的周期性

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摘要： 抽象函数是一种重要的数学概念，对其性质的考察一直是高考的热点， 对于抽象函数周期性的判定和运用是一大难点，需要我们认真深入全面的研究。

关键词：抽象函数 ；周期性； 单调性 ；奇偶性

抽象函数是一种重要的数学概念。我们把没有给出具体解析式，其一般形式为y=f（x），且无法用数字和字母表达的函数称为抽象函数。这类函数解决起来较抽象，但却能有效地反映学生对知识的掌握、理解、应用及迁移的能力，对培养、提高学生的发散思维和创造思维等能力有很好的促进作用。解决抽象函数的问题要求学生基础知识扎实、抽象思维能力、综合应用数学能力较高。近几年高考中也常出现涉及抽象函数的题目，大多考查的是函数的单调性、奇偶性、对称性和周期性.而在实际教学中我感觉同学们对于抽象函数周期性的判定和运用比较困难，所以先研究一下抽象函数的周期性问题.

预备知识： 对于函数定义域内的每一个x，若存在某个常数T（T≠0），使f（x+T）= f（x）总成立，则f（x）是周期函数.T是f（x）的一个周期.若T是f（x）的一个周期，则kT（k∈Z且k≠0）也是f（x）的周期。

一、 抽象函数周期的求法

由于抽象函数无具体的解析式，所以应根据周期函数的定义来解决，大致分为以下几个类型：

1.型如f（x+a）=f（x+b）（a≠b）

分析： 用替换思想将条件等式化成定义形式.将原等式中的x用x-a（或x-b）来替换.得f（x-a+a）=f（x-a+b）即 f（x）=f[x+（b-a）] ，所以根据周期函数的定义得f（x）是周期函数且b-a是其一个周期.若用x-b替换x得f（x）=f[x+（a-b）]，所以f（x）是周期函数且a-b是其一个周期.

2.型如f（x）=1/ f（x+a） （a≠0）

分析： 与上一类型相仿用替换和代入的方法得到周期函数定义的形式.将原条件等式中的x 用x+a替换得f（x+a）=1/ f（x+2a）代入原等式得f（x）=f（x+2a），所以f（x）是周期函数，2a是其一个周期.

从以上可发现求周期，主要是用替换与代入的思想将原条件等式化成定义的形式得到周期.

二、抽象函数周期性与函数的奇偶性、对称性的关系

1.设条件A： 定义在R上的函数f（x）是一个偶函数，条件B： f（x）关于x=a对称，条件C： f（x）是周期函数，且2a是其一个周期.

结论： 已知其中的任两个条件可推出剩余一个.

证明： ①已知A、B C