ICAI中基本知识组件的划分

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摘 要:采用自顶向下的方法研究icai领域内知识的构成,给出知识点含义､基本知识组件的定义以及划分方法,并以具体的学科――“几何原本”中部分内容为研究对象,划分出基本知识组件,指出它对选择学习路径的意义,从而为ICAI系统的开发提供方法和依据｡

关键词:知识点;基本知识组件;倒退关系;学习路径

中图分类号:TP18文献标识码:A

1 引 言

知识空间理论是由Dietrich Albert等人提出的,该理论提供了一种基于认知科学领域,给出描述指定知识域的结构的方法[1]｡知识空间理论的研究目的是能够在任何学科的学习过程中为人类的知识建模,运用数学工具,应用于交互计算机尽可能快而准确地对学习者的学习状态进行评价和反馈,实现对学习者学习路径的控制,使学习路径最优化[11]｡利用这种思想的长处,我们希望能得到一种通用的知识空间理论,也就是用数学的方法研究知识空间理论,这样对ICAI的发展能够带来帮助｡知识点是ICAI中的一个重要组成部分,也是知识空间理论中一个重要环节｡本文主要是结合具体的教材和知识空间理论提出基本知识组件划分的一般原则,并将该原则应用于具体的实例――“几何原本”中平面几何部分的三角形知识中的知识点及基本知识组件的划分,指出其对选择学习路径的意义｡

2 知识点及知识点之间的关系

在教学领域中,教学元知识点是指教材中可以作为一个独立的单元进行传授的部分｡文献[3-6]对知识点都有描述,我们这里所说的知识点是结合知识的内容和知识之间的内在联系及其后来为了知识的传播而组织在一起所形成的关系(外在联系)来定义知识点,它具有相对的独立性和一定的关联性｡

定义1 知识点(Knowledge Point)是指兼顾知识本身的内容和它们之间的关系而划分出来的,具有局部完整性,且可以作为独立的教学单元和研究对象｡

知识点之间的关系可以分为两大类,组织关系(Buildup Relation)和支撑关系(Underlay Relation)[7-10]｡一方面在知识的保存､传递中,知识点集合按照一定的组织原则,被组织在一起,也就建立了一种关系,这种关系称为组织关系｡另一方面,知识是人们对客观事物的认识,是在不断增长､不断深入､不断扩大的,而且新知识是建立在旧知识的基础上,这就形成知识点的内在关联的根源和实质｡把这种知识点的内在关联的实质抽象为“支撑”,就称这种关系为支撑关系｡为了便于研究,只考虑组织关系中的从属关系｡下面就是这些关系的定义｡

设P为知识点集合,T为知识点的组织树,G知识点的支撑图,表示偏序关系｡

定义2 设p1,p2∈P且在T中有共同的祖先弧P,若p1=a,则称p2和p1之间具有从属关系(hypotaxis relation),即p2从属p1,记为Bh,用符号h表示,即p2h p1为真｡

性质1 从属关系具有自反性､反对称性和传递性,它是一种偏序关系｡

定义3 设p1,p2∈P且在G中有一条由p1指向p2的边,则称p1和p2之间具有支撑关系U(underlay relation),用符号票硎,即p1p2为真,并称p1支撑p2,或者说p1是p2的前序(支撑)知识点｡

性质2 支撑关系具有自反性､反对称性和传递性,它是一种偏序关系｡

任何一个领域内的知识可以按照某种原则或规则划分成不同的知识点,各个知识点之间存在从属关系和支撑关系中的一种或两种｡那么,在这个领域内的知识点集合中,可以根据这两种关系中的任意一种组织成上一层的结构单元――基本知识组件｡由于这两种关系具有共性,即都是偏序关系,于是可以针对具有偏序关系的集合定义一种新的关系――倒退关系｡这样的话,对倒退关系的研究,能够应用到具有共性的其他两种关系上｡以下是对倒退关系的定义｡

计算技术与自动化2007年6月第26卷第2期陆 捷等:ICAI中基本知识组件的划分定义4 设集合E具有偏序关系恍灾,定义倒退关系如下:

设e∈E,若b∈E,且be为真,则称b为e的前件

1) 若e在E中只有惟一的前件b,则定义eb成立;

2) 若对e在E中所有的前件b1, b2,…,bk,有∩ki=1(bie)为真,则定义∩ki=1(ebi)为真;

3) 若对e在E中所有的前件b1, b2,…,bk有∪ki=1(bie)为真,则定义∪ki=1(ebi)为真｡

对于倒退关系,有以下性质｡

性质3 设集合E具有偏序关系恍灾,集合E1是E的某个子集,且具有倒退关系性质,则对于元素e∈E1,有:

1)若e在E中只有唯一的前件b,则b∈E1;

2)若对e在E中所有的前件b1,b2,…,bk有∩ki=1(bie)为真,则∩ki=1(bi∈E1)为真;

3)若对e在E中所有的前件b1,b2,…,bk有∪ki=1(bie)为真,则∪ki=1(bi∈E1)为真｡

3 基本知识组件

3.1 基本知识组件的来源

知识组件(Knowledge Component)的提出是借鉴了本体论的思想｡本体论原本是一个哲学上的概念,是表述哲学理论的一个术语,西方哲学中的本体论是关于存在及其本质和规律的学说｡后来随着计算机的发展可以看出,把现实世界中的某个应用领域抽象或概括成一组概念(进程､程序､硬件等)及概念间关系,构造出这个领域的本体,会使计算机对该领域的信息处理大为方便｡

在一个知识领域内,需要描述的事务都具有一种或多种相似性,可以根据这些相似性将领域中的知识进行分类｡就像房屋的共同组件有窗户､门､墙壁､天花板和地板一样,对于知识也可以考虑它们的共性构建出知识组件｡另外在知识组件的形成过程中,存在一个饶有兴趣的问题:给定了若干个知识点,找出支撑这些知识点的最小背景,或找出包含这些知识点的最小组织树(或森林)｡在考虑知识点集合的“最小性”时又要兼顾知识点集合的相对完整性和知识点的冗余性,于是有以下定义和假设｡

3.2 基本知识组件的定义

г谥识点的关系图G中,从出度为0的结点开始对同一结点的存在不同支持路径,那么有些结点之间在意义上有平行的含义,在这里称为平行关系｡以下是对平行关系的定义｡

定义5 假设知识点集合P满足关系r∈{h,},若对任意的知识点b1,b2,e∈P,有(eb1)∨(eb2)为真,则称b1,b2之间具有平行关系,用符号∥表示 ,即b1∥b2为真,其中菏枪叵r的倒退关系｡

完整性假设:任意满足从属关系或支撑关系的知识点集合P都具有倒退关系盒灾｡

基本知识组件是由知识领域内知识点形成的一个子集,这些知识点属于同一个组织或者依据某种关系构成一个意义上或组织上局部完整的知识块,即在局部范围内,是一个完整的关系网络｡以下给出基本知识组件的形式定义｡

定义6 设P是满足完整性假设的知识点的有限集合,称集合c是关于关系r∈{h,}的基本知识组件,当且仅当满足:

1) c是空集I;或

2) c是非空集,且同时满足以下三点:

(1)q1(p∈c∧q1∥p),基本知识组件中不存在平行的知识点;

(2)p1,p2∈P,(p2p1)∧(p2∈c)p1∈c,基本知识组件c中任何知识点的r关系前件(不包括平行知识点)都是c中的知识点;

(3)存在知识点p:q∈(c\{p})┑(qp)且p′(p′∈c∧p′≠p∧q(q∈c∧qp′)),基本知识组件c中有且仅有一个无r关系后件的知识点｡

其中菏枪叵r的倒退关系,知识点的关系图是一个有向无环图｡

性质4 在某个领域内的基本知识组件集合中,用C槐硎局识点a的全部基本知识组件的集合,则有c1,c2∈C,c1c2｡

定义7 在知识点的关系图中,若存在关系p1r′p2,则称p1是p2的r′关系前件,p2是p1的r′关系后件,其中r′∈{h,,}｡

定义8 若Ci=Cj×{i},则集合的×运算是将元素i加到Cj中每一个集合中,例如:Cj={{k,j},{j,l}},那么Ci=Cj×{i}={{k,j,i},{j,l,i}}｡

以上的一些性质和定义将在后面有具体的应用｡

3.3 基本知识组件的引进理由

在ICAI中,引入基本知识组件有以下三个方面的优点｡一是能够更好地表达知识空间中的知识点之间的关系｡如果没有基本知识组件,整个知识空间直接由知识点组成,那么知识点之间的关系网络图非常复杂,这样在实际的应用中无论是对存储空间方面还是对程序的性能方面都是相当不利｡二是能精简知识点子集,例如一个由50个知识点组成的领域知识,假如不考虑基本知识组件,那么它的子集有250个,但并不是每一个子集都有实际的意义,有些子集仅是知识点的罗列;考虑基本知识组件后就可以删除一大部分的没有意义的知识点子集｡第三个优点是基本知识组件能够很好地组织知识点,使它们在相对的一个较大的范围内是完整的,这样的结构便于知识空间的上层结构的研究,有利于ICAI中知识库的表示｡

基本知识组件在ICAI中的应用主要是在测评过程实现的,即基本知识组件可用来描述学生掌握的知识状态[2]｡测评的过程有:第一步对学生当前的知识水平进行评估,得出学生所掌握知识所处的基本知识组件;第二步作决策,选择下一个要学习的知识点进行学习,形成新的基本知识组件;若未达到理想的学习状态,就转到第一步,如此反复,直到到达理想的学习状态时终止｡由于基本知识组件是精简并完善后的知识点的集合,能缩短学习步骤而达到相同的学习效果,相应的学习过程也即学习路径比较简短｡

4 基本知识组件的生成算法及其性能分析

4.1 基本知识组件的生成算法

基本知识组件划分的原则是:根据完整性假设,采用自底向上的思想形成各个知识点的基本知识组件｡下面详细介绍各个步骤｡

为了便于记录知识点之间的各种关系,将各个知识点之间的关系存储在一个n×n(n为知识点的数目)的矩阵I中,其中矩阵元素的取值定义如下:

Iij=0表示知识点i与知识点j之间没有关系或者为“与”关系;

Iij=1表示知识点i与知识点j之间存在倒退关系,即ij;

Iij=2表示知识点i与知识点j之间存在“或”关系,也就是前面所说的平行关系,即i∥j｡

其中“与”关系的含义是指:若(eb1)∧(eb2)或者(b1e)∧(b2e),则b1和b2存在“与”关系;若(eb1)∨(eb2)或者(b1e)∨(b2e),则b1和b2存在“或”关系｡

根据前面的完整性假设,得出基本知识组件的算法思想,用自然语言描述有以下几步:

step1:形成单元素(知识点关系图中出度为0的结点)的基本知识组件;

step2:由单元素向上形成上一层结点的基本知识组件;

step3:依次向上形成各层知识点的知识组件,直到每个结点所代表的知识点都形成了基本知识组件｡

以上算法思想的类程序语言描述如算法1所示｡

算法1 基本知识组件生成算法

输入: E={1,2,3,……,n};∥E是知识点全集

E1=I;∥E1中为已经得出基本知识组件的知识点集合

I[n][n];∥各个知识点之间的关系矩阵

输出:C={Ci|i=1,2,…,n}

过程:int i,j,I[n][n];

4.2 算法正确性的证明

下面证明算法1的正确性,即它与基本知识组件定义是等价的｡

证明:对算法与基本知识组件定义(以下简称定义)的等价性的证明分成两部分,第一部分证明算法生成的基本知识组件都符合基本知识组件的定义;反过来,第二部分证明定义得到的基本知识组件都能由算法生成｡根据定义有若华b,则在倒退关系图中有一条从a到b的有向弧,称a有出度,b有入度;定义矩阵I中元素值为“1”时,为了方便表示一个基本知识组件中有且仅有一个无汗叵登凹的知识点｡

首先证明第一部分｡算法的自底向上的思想蕴含两层含义:一是若华b,则有a属于基本知识组件c,则b也属于基本知识组件c;二是每个基本知识组件至少包含一个无汗叵岛蠹的知识点｡另外,C={I}时符合定义要求｡下面分别验证算法中各个部分形成的基本知识组件符合基本知识组件定义的要求｡

1) 算法1的第①部分,矩阵中某一行的各元素值都为0,则该行的行序所代表的知识点形成的单元素基本知识组件｡在这个基本知识组件中,没有平行关系的结点,也不存在与其他结点有关系,所以满足基本知识组件的定义｡

2) 算法1的第②部分生成的基本知识组件,条件j1,j2,……,jk∈E1表示这些结点已经形成基本知识组件,条件Iij1=1 and Iij2 and …… and Iijk=1表示i和jx(x∈{1,2,…,k})之间在关系图中存在关系,能够形成本知识点的基本知识组件,并根据已得出基本知识组件的知识点形成本层知识点的基本知识组件;条件Ijxjy=2(x,y∈{1,2,……,k})表示结点jx和jy结点是平行关系的知识点,那么Ci=Cj1×{i}∪Cj2×{i}∪…∪Cjk×{i}表示一个基本知识组件中不存在平行关系的知识点,同样满足基本知识组件的定义｡

3) 同理可以证明第③部分和第④部分所生成的基本知识组件满足定义要求｡

由上可得,该算法所形成的基本知识组件都符合基本知识组件的定义｡

接着证明第二部分｡定义中的第一点,为I的基本知识组件,包含在算法中的C中｡定义中的第二点,定义中的单元素正好是知识点关系图中出度为0的结点,即是算法中得到的单元素基本知识组件;定义中的每个基本知识组件,在该基本知识组件中有且仅有一个不存在汗叵登凹的知识点,这一点正好符合算法中自底向上的思想｡并且定义得到的基本知识组件中不平行关系的知识点,算法也排除了包含平行知识点的知识组件｡所以定义中生成的基本知识组件就是算法中得到的基本知识组件｡

综上所述,算法1与基本知识组件的定义具有等价性｡

因为算法1中的输入包含矩阵I,所以下面给出矩阵的生成算法｡根据矩阵I中元素的定义,可以得到生成矩阵I的算法,如算法2｡

算法2 矩阵生成算法

输入:知识点之间的关系

输出:矩阵I,Iij∈{0,1,2}

过程:int i,j,I[n][n]; ∥i表示行序,j表示列序,I[n][n]表示矩阵元素的值;

4.3 算法性能分析

算法1的最坏时间复杂度为O(n×n),其中n为知识点数目｡因为矩阵I中有n2个元素,并且关系图是有向图,需要对每一个元素进行赋值,所以算法2的时间复杂度为O(n×n)｡生成知识组件的算法由算法1和算法2两个组成,时间复杂度应考虑两者之和,所以时间复杂度为O(n2)｡同样,考虑空间复杂度时,是用二维数组存储矩阵,需要的存储空间为n2,所以空间复杂度为O(n2)｡

5 平面几何中的部分基本知识组件

学过初等平面几何的人,都知道欧几里德,都会惊叹于欧几里德平面几何的完美,整个平面几何能够以五条自明的公理即几条概念点､线､面把平面几何的所有的规律用逻辑全部推演出来,而且相互之间没有任何矛盾､空隙和皱折,一切是那么的光亮｡这里选择欧几里德的平面几何领域内的知识作为研究对象,也是基于这个优点｡

根据前面的算法,对《几何原本》中三角形部分的内容进行知识组件的划分｡在三角形的知识点中,既可以从边的方面来讨论,又可以从角的方面来讨论｡因此可以把这一部分知识划分成以下几个知识点:三角形知识点,边知识点,角知识点,线知识点,度数知识点｡将这些知识点分别用,b,c,d,e表示,由他们的形成的过程所存在的支撑关系有:b≤,c≤,d≤b,d≤c,e≤c,b∥c｡用支撑关系图表示如图1所示｡

根据倒退关系的定义,三角形部分得到的倒退关系有(华b)∨(华c),bd,(cd)∧(ce),平行关系有b∥c,其倒退关系图如图2所示｡

于是,在三角形的知识中,根据算法1和算法2形成各个知识点的基本知识组件的有以下几个步骤｡

1)E={1,2,3,4,5};E1=I;1,2,3,4,5对应知识点,b,c,d,e,如图4所示;在矩阵I中元素4,5所对应的行的值全部是0,则知识点4,5对应的基本知识组件集合分别为{{4}},{{5}},且E1={4,5},E={1,2,3};

2)E≠I,与结点2和结点3存在关系旱慕岬4,5∈E1,所以此次生成结点2和3的基本知识组件分别为{{2,4}},{{3,4,5}},E={1},E1={2,3,4,5};

3)E≠I,与结点1存在关系旱慕岬阌2,3∈E1,且2与3是平行关系,即2∥3,那么C1=C2×{1}∪C3×{1}={{1,2,4},{1,3,4,5}},E=I,E1={1,2,3,4,5};

4)E=I退出｡

最后得到三角形部分各个知识点,b,c,d,e的基本知识组件分别为

C={{,b,d},{,c,d,e}},Cb={{b,d}},Cc={{c,d,e}},Cd={{d}},Cc={{e}}｡

在生成的基本知识组件的过程中,可以看出,如果某个知识点a的C恢杏n个基本知识组件时,那么存在n条到达知识点a的学习(授课)路径｡上面例子中要学习三角形知识点时存在这样两条学习(授课)路径:一条是db,即先学习线知识点,再学习边知识点,最后学习三角形知识点;另一条是d∧ec,即先学习线知识点和角度知识点,再学习角知识点,最后学习三角形知识点｡因为是基本知识组件,所以这样的学习路径是最简捷的｡

6 后续研究的问题

在我们研究的知识空间理论中,得到基本知识组件后,下一步工作是沿用自顶向下的方法继续研究知识点的划分规则以及知识点之间的关系､知识组件的类型和知识组件之间的联系｡

注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。