巧利用均值不等式求最值

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利用均值不等式求最值是历年高考的热点内容之一.均值不等式成立的条件可概括为“一正、二定、三相等”.当这些条件不完全具备时，需要通过巧妙变换，凑成“定和”或“定积”，从而使其具备相应的条件.下面谈谈常见的凑“定和”或“定积”的技巧，与大家共勉.

技巧一：直接利用基本不等式求最值

例1 （2014・山东理）若 ax6+ b x 4的展开式中x3项的系数为20，则a2+b2的最小值为 .

解 将 ax2+ b x 6展开，得到Tr+1=Cr6a6-rbrx12-3r，令12-3r=3，得r=3.

由C36a3b3=20，得ab=1，所以a2+b2≥2ab=2.

技巧二：凑项法（和为定值或积为定值）

例2 已知x>0，y>0，且满足3x+2y=12，求lgx+lgy的最大值.

解 x，y>0，lgx+lgy=lg（xy）=lg 3x・2y 6 ≤lg 1 6 ・ 3x+2y 2 2 =lg 1 6 ・ 12 2 2 =lg6，

当且仅当3x=2y，即x=2，y=3时，等号成立.

所以lgx+lgy的最大值是lg6.

例3 （2016・山东理稍作变动）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2（tanA+tanB）= tanA cosB + tanB cosA ，且a+b=2c.求cosC的最小值.

解 由a+b=2c得c= a+b 2 ，所以cosC= a2+b2-c2 2ab = a2+b2- a+b 2 2 2ab = 3 8 a b + b a - 1 4 ≥ 3 8 ×2- 1 4 = 1 2 ，

当且仅当a=b时，等号成立.故cosC的最小值为 1 2 .

技巧三：巧用“1”代换

例4 （2015・福建文）若直线 x a + y b =1（a>0，b>0）过点（1，1），则a+b的最小值等于（ ）

A.2

B.3

C.4

D.5

解 由题知 1 a + 1 b =1（a>0，b>0），

a+b= 1 a + 1 b （a+b）=2+ b a + a b ≥2+2 b a ・ a b =4，当且仅当 b a = a b ，即a=b=2时取等号，

a+b最小值是4，故选C.

技巧四：利用函数单调性求最值

例5 求函数y= x2+5 x2+4 的值域.

解 令 x2+4 =t（t≥2），则y= x2+5 x2+4 = x2+4 + 1 x2+4 =t+ 1 t （t≥2）.

因为y=t+ 1 t 在区间[1，+∞）单调递增，所以在其子区间[2，+∞）为单调递增函数，故y≥ 5 2 .

所以，所求函数的值域为 5 2 ，+∞ .

技巧五：放缩后再解不等式

例6 已知a，b为正实数，2b+ab+a=30，求函数y= 1 ab 的最小值.

解 由已知得30-ab=a+2b.

a+2b≥2 2ab ，30-ab≥2 2ab .

令u= ab ，则u2+2 2 u-30≤0，-5 2 ≤u≤3 2 ，

ab ≤3 2 ，ab≤18，y≥ 1 18 .

技巧六：换元法

例7 求函数y= x+2 2x+5 的最大值.

解 令 x+2 =t，t≥0，x=t2-2，则y= t 2t2+1 （t≥0），当t=0时，y=0；

当t>0时，y= 1 2t+ 1 t ≤ 1 2 2t・ 1 t = 2 4 ，

当且仅当2t= 1 t ，即t= 2 2 时，取等号.

所以x=- 3 2 时，y取最大值 2 4 .

技巧七：反复利用均值不等式

例8 （2016・江苏理节选）已知函数f（x）=ax+bx（a>0，b>0，a≠1，b≠1）.设a=2，b= 1 2 .若对于任意x∈ R ，不等式f（2x）≥mf（x）-6恒成立，求实数m的最大值.

解 由题意得22x+ 1 22x ≥m 2x+ 1 2x -6恒成立，

令t=2x+ 1 2x ，则由2x>0，可得t≥2 2x× 1 2x =2，

此时t2-2≥mt-6恒成立，即m≤ t2+4 t =t+ 4 t 恒成立.

t≥2时，t+ 4 t ≥2 t・ 4 t =4，当且仅当t=2时等号成立，

因此，实数m的最大值为4.

总之，利用均值不等式求最值的方法多样，而且变化多端，只有掌握常见的变形技巧与常见题型的求解方法，并且加强训练、多思考，才能达到熟能生巧.