一题三法击破“定直线”
开篇：润墨网以专业的文秘视角，为您筛选了一篇一题三法击破“定直线”范文，如需获取更多写作素材，在线客服老师一对一协助。欢迎您的阅读与分享！
【摘要】 “定直线”问题属于高考的一类热点问题，近些年有综合发展趋势，笔者就一道优质试题为例探讨它的基本求解策略.
例 当过点P（4，1）的动直线l与椭圆C： x2 4 + y2 2 =1相交于两不同点A，B时，在线段AB上取点Q，满足|AP|・|QB|=|AQ|・|PB|，证明：点Q总在某定直线上.
分析 设法将“某定直线”明确即可，可从主条件“|AP|・|QB|=|AQ|・|PB|”入手，转化为向量形式，分解向量将其坐标化.
证明 法1：设点Q，A，B的坐标分别为（x，y），（x1，y1），（x2，y2），由题设知|AP|，|PB|，|AQ|，|QB|均不为零，记λ= |AP | |PB | = |AQ | |QB | ，则λ>0且λ≠1，又A，P，B，Q四点共线，从而引入向量，有AP =-λPB ，AQ =λQB ，
4= x1-λx2 1-λ ，1= y1-λy2 1-λ ，
x= x1+λx2 1+λ ，y= y1+λy2 1+λ ， （）
x21-λ2x22 1-λ2 =4x， （1）
y21-λ2y22 1-λ2 =y. （2）
点A，B在椭圆C上，
x21+2y21=4， （3）
x22+2y22=4. （4）
由（1）+（2）×2并结合（3）（4）得
4x+2y= （x21+2y21）-λ2（x22+2y22） 1-λ2 =4，
点Q（x，y）总在定直线2x+y-2=0上.
在（）的四个等式中，没法将所设参数“一一解出”，对这4个式子如何变形很重要，考虑要利用（3）（4）式，可以尝试将（）中的第一和第三式相乘，变成“平方”形式，同理，将第二和第四式相乘，得到的（1）（2）式只有平方项，没有交叉项（即xy项），类似这样的处理，可以较为容易地利用已知条件来消参，上述解法中，是用了设⑾参的策略，就一般情况求得定直线方程，其实动点Q的轨迹就是这条直线在椭圆内的那部分（线段）.
若从运动变化的观点来思考，可有如下解法：
法2：过点P（4，1）作椭圆的两条切线，设切点分别为C，D，则切点弦的直线方程为 4・x 4 + 1・y 2 =1，即2x+y-2=0，转动直线lAB，当lAB与椭圆相切时，此时A，Q，B三点重合于切点C（或D），仍然满足|AP|・|QB|=|AQ|・|PB|，于是猜想：点Q（x，y）总在定直线2x+y-2=0上.
这里再给出一种方法.
法3：设直线AB的方程为y-1=k（x-4），将其代入 x2 4 + y2 2 =1，可得
（1+2k2）x2-（16k2-4k）x+32k2-16k-2=0.
|AP|・|QB|=|AQ|・|PB|，
AP PB = AQ QB ，
4-x1 4-x2 = x-x1 x2-x .
即8x+2x1x2-（x1+x2）（x+4）=0.
由韦达定理可得
x1+x2= 16k2-4k 1+2k2 ，x1x2= 32k2-16k-2 1+2k2 ，
代入上式可得x= 4k+1 2+k .
将x= 4k+1 2+k 代入y-1=k（x-4），得y= -6k+2 2+k ，
x= 4k+1 2+k ，y= -6k+2 2+k ， 消去参数k可得2x+y-2=0，
体会这三种解法，发现本题其实还可以做进一步的推广：
设点P（x0，y0）是椭圆C： x2 a2 + y2 b2 =1（a，b>0，a≠b）外一点，过点P的动直线与椭圆C相交于两个不同点A，B时，在线段AB上取点Q，满足|AP|・|QB|=|AQ|・|PB|，则点Q总在定直线 x0x a2 + y0y b2 =1上.
通过对本题的探究，我们发现解决“定直线”问题的求解策略是：通过设方程最终将变量置于一个或几个（尽量少）方程（或等式）中，或直接消去参变量而获解，或通过参变量的巧妙组合观察得到，或分析结构特征转化求解，总之，解决这类问题时需要在变中寻找不变.
【参考文献】
[1]曹亦祥.几何复习教学中不要忽视“模型”的提炼――一道高失分率题引起的思考[J].中学数学月刊，2015（09）：25-27.
[2]张宝娣.利用点坐标确定平面直角坐标系方法探析[J].中学数学研究（华南师范大学版），2015（07）：33.