走出对余弦定理认识的误区

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正余弦定理是高中阶段数学比较重要的定理，这部分内容在人教版的教材中安排于必修5，即学生完整学习完必修4中的三角函数之后，应当说教材安排非常科学。这两大经典定理是解三角形的主要依据，正是由于两大定理本身巨大的功能，产生了非常重要的变式及相应的解题方法，同时也使学生的学习出现一定的困难，尤其是多解的情况更是让很多人摸不着头脑。于是很多教辅资料对这两大定理的应用做了梳理，为学生较好地掌握这些定理起到了一定的帮助，但是有些结论存在瑕疵，误导了学生和刚上讲台的青年教师。

大家来看下面的这段总结：

一般的，已知三角形的两边及一对角，求解三角形时可能出现零解、一解和两解的情况，既可采用正弦定理也可采用余弦定理，建议应用余弦定理，当列一元二次方程时解出的边长出现零个正数解、一个正数解、两个正数解分别对应满足条件的三角形个数。

我们举个例子来验证这段总结是否科学。

例：如图，在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ABC=60°，AC=7，AD=6，SADC=■，求AB的长。

解析一：

在ABC中，SACD=■AC・ADsin∠1

sin∠1=■=■=■

sin∠2=■

在ABC中，BC=■=5，cos∠2=■=■，

BC2=AB2+AC2-2AB・ACcos∠2

即25=AB2+49-11AB，

AB=8或AB=3

解析二：利用AC2=AB2+BC2-2AB・BCcos60°

AB2-5AB-24=0

AB=8或AB=-3（舍）

综上，AB=8。

上面两种方法均采用余弦定理，而利用正弦定理同样解出AB=8。为何解析一中的结果不同于其他的解法？对AB=3进行检验，可得cosB=-■，∠B=120°与已知矛盾，明显是个增根。上述结论是有问题的，究其原因，解析一中利用余弦定理时并未利用∠B=60°，在两边及一对角的这一条件当中出现两解可以构造∠B=120°的三角形，但是不符合题意，因此，余弦定理解题出现正数解也不能保证符合题意，务必对其进行检验。

例题利用余弦定理解题时出现正数解的增根，不易被发现，所以利用余弦定理解题时不能省掉检验这一环节。

参考文献

[1]刘绍学.普通高中数学必修5[M].北京：人民教育出版社，2007.

[2]严士健，张奠宙，王尚志.普通高中数学课程标准解读[M].南京：江苏教育出版社，2004.