数学解题中的一把金钥匙――整体思想

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一、整体代入

有些问题，如果孤立地利用条件，问题虽然可以得到解决，但解题过程比较复杂，如果把一些组合式子看成一个“整体”，并把它直接代入另一式，以避免局部运算的麻烦和困难，这就是整体代入.

例1 当x = 1时，代数式px3 + qx + 1的值是2014，则当x = -1时，代数式px3 + qx + 1的值是 .

分析 对于此题，若想分别求p和q的值，这是不必要的，也不可能. 由题设得p + q + 1 = 2014，如果我们视p + q为一个整体，则有p + q = 2013，于是，当x = -1时，有px3 + qx + 1 = -p - q + 1 = 1 - （p + q） = 1 - 2013 = -2012.

二、整体换元

整体换元是用新的元去代替已知或已知式的某一部分，从而达到化繁为简、化难为易的目的.

例2 解方程■2 + 5■ + 6 = 0.

分析 如果先将括号展开，题目就难解了. 根据方程的结构特征，把■看作整体y，则原方程转化为y2 + 5y + 6 = 0，解得y1 = -3，y2 = -2，当y1 = -3时，■ = -3，解得x1 = -■；当y2 = -2时，■ = -2，解得x2 = -■. 经检验x1 = -■，x2 = -■均为原方程的根.

三、整体构造

整体构造就是根据已知条件和所求，整体构造相应的式子，通过对两个式子的联合研究来解决问题.

例3 已知a，b为两个不相等的实数，且满足a2 = 1 - 2a，b2 = 1 - 2b，求■ + ■的值.

分析 根据常规，习惯于先求出a，b，这需分四种情况讨论，运算较繁，且容易出错. 若能整体把握■ + ■ = ■ = ■，只需求出a + b与ab，易联想到根与系数的关系. 本题可构造出以a，b为两实数根的一元二次方程x2 + 2x - 1 = 0， a + b = -2，ab = -1，■ + ■ = ■ = -6.

四、整体求解

整体求解是将问题中的某些局部计算作整体求解，从而达到简化问题和减少计算量的目的.

例4 有大、小两种货车，2辆大车和3辆小车一次可以运货15.5吨，5辆大车与6辆小车一次可以运货35吨，求3辆大车与5辆小车一次可以运货多少吨？

分析 设一辆大车与一辆小车一次可以各运货 x 吨、y吨，则有2x + 3y = 15.5…①，5x + 6y = 35…②， 然后用常规方法解得x 与y 的值，再代入下一步作答，非常烦琐. 简便解法： 由题意，可得2x + 3y = 15.5…①，5x + 6y = 35…②，①×7 - ②，得9x + 15y = 73.5，从而就有3x + 5y = 24.5.

五、整体补形

整体补形是从图形的整体性角度出发，将问题中不完整的图形补为完整的图形，从而利用图形的整体性质使问题巧妙获解. 从整体补形的角度去思考问题，巧妙添加辅助线，从而导致解题方向明朗化.

例5 如图1，AB = 4，DBAB，EAAB，DB = 3，EA = 6，又点M是DE的中点，求BM的长.

分析 由已知条件可以联想到平行四边形，故延长DB到F，使DF = EA = 6，连接EF，AD，由AEAB，DBAB，得AE∥DB，四边形ADFE为平行四边形. 在RtABD中，AD = ■ = 5. EF = AD = 5. 由中位线定理得BM = ■EF = ■ .

六、化零为整

化零为整就是化部分为整体，避免分散计算. 在很多几何题中，如果把所求部分进行单个计算，有时不能使问题获解，只有把所有部分看作一个整体进行合理转化，才能得出结论.

例6 如图2，A，B，C两两不相交且半径都为0.5厘米，则图中阴影部分的面积为________.

分析 由于各个扇形的圆心角的度数均未知，从而不能分别求各个扇形的面积. 为此，将三个阴影部分整体考虑，注意到三角形内角和为180°，所以三个扇形的圆心角的和为180°，又因为各个扇形的半径相等，所以阴影部分的面积为半径为0.5厘米的圆的面积的一半，即■ × π × 0.52 = ■（平方厘米）.

七、 应用题中的整体思想

我们在研究有关应用题时，如果能从大处着眼，从整体入手，往往可化繁为简，思路明晰.

例7 甲、乙两人从相距100千米的两地同时出发，相向而行，甲每小时走6千米，乙每小时走4千米，甲带了一只小狗，狗每小时跑10千米，小狗随甲同时出发，向乙跑去；当它遇到乙后，就立即回头向甲跑去；遇到甲后，就立即回头向乙跑去，直到甲、乙两人相遇狗才停住. 求这条狗一共跑了多少路.

分析 本题如按常规解法，考虑“狗”的行程，不仅图无法画出，且容易导致思路曲折复杂，无从下手.如果我们借助“整体思想”则轻而易举：要求狗的行程，已知狗的速度，只需知道狗奔跑的时间；而这时间也恰是甲、乙二人走完全程所用的时间，而求甲、乙二人走完全程所用的时间则变成一个相当简单的相遇问题. 如果设甲、乙两人从出发到相遇所用时间为x小时，根据题意列方程：6x + 4x = 100，解之得x = 10 ，因此狗以10千米/时的速度跑了10小时，则它一共跑了10 × 10 = 100（千米）.

当然，整体思想在数学解题中的应用还涉及其他的各种题型. 有了整体思想的意识，从整体上去认识问题、思考问题，常常能化繁为简、变难为易，同时又能培养学生思维的灵活性、敏捷性. 灵活恰当地运用整体思想，往往能帮我们走出困境，走向成功.