数学美对数学教学的启示
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摘要：
许多学生把学习数学归结为死记硬背结论与陷在没完没了的计算中。这种对数学的偏见影响了学生学习数学的积极性与自信心。科学史表明，数学美在科学探究中有“以美启真”“以美审真”“以美悦心”“以美辅理”的作用。在数学教学中彰显数学美，可以增强学生的内部学习动机，让学生更本质更快乐地学好数学。在数学教学中挖掘数学美，教师要有一颗易感之心，学生要有一只跳跃思维之胆，师生共同拥有一个美学之念。
关键词：
中学数学；数学美；科学探究；启示
一、问题的提出
学生对数学的认识与学习兴趣，直接或间接影响着学生学习数学的动力，从而也影响数学学习效果。在当前的应试大环境下，诸多因素导致学生普遍对数学没有太好印象。“数学是法则与公式的集合，解数学题只是从一大堆他们学过的公式中，利用各种提示，找出适当的法则代入数字加以应用，最后得出答案。”[1]“数学是数字与图形的组合，以计算为主……是枯燥乏味、不得不学的深奥、神秘、高深的学问……”[2]这种把数学学习归结为只是死记硬背结论，总是陷在枯燥乏味计算中的偏见，极大地影响了学生学习数学的积极性与自信心。事实上，从萌芽状态的原始数学，到当今五彩缤纷的现代数学，数学美作为数学的重要内涵，一直得到所有数学家的公认。数学中存在美，对此没有人持有异议。但在数学中哪些地方存在美，如何去感知数学美，不少学生依然朦胧和模糊。因此在数学教学中彰显数学美，让学生了解数学美在科学探究中的重要作用，可以增强学生的内部学习动机，消除数学给人带来的枯燥乏味的坏印象以及高深莫测的神秘感。然而，正如马克思所说：“对于不懂音乐的耳朵，最美的音乐也没有意义。”并非人人都有欣赏数学美的能力。因为数学与音乐所表现的，都是一种脱离了具体的实物场景的高度抽象的对象，是“人类性灵最富于创造的产物”[3]。高度抽象的结果是大量的“下里巴人”总难领略其神韵，只有具备较高的数学素养与数学领悟力的人，在数学研究中才可能有深入心窍的愉悦体验。才能在数学学习时于枯燥中感新奇，于平凡中见奇崛，才能教学探索时时被数学美所吸引而神与物游。
二、数学美在科学探究中的作用
（一）以美启真
许多物理学家都把“符合数学美”作为他们研究物理规律、建立物理学理论的重要准则，对数学美宗教般狂热推崇，并在科学研究中以数学美导航，最终得以写出划时代的巨著。诺贝尔奖得主狄拉克在哈佛大学演讲时说：“学物理的人用不着对物理方程的意义操心，只要关心物理方程的美就够了。”[4]这正是这位物理学巨匠科学研究中一贯遵循的信条，因为狄拉克恰恰就是在完全不考虑任何物理模型的情况下，直接从理论和数学结构美的制高点出发，得出了一个大大出乎他意料之外的狄拉克方程。同样，科学巨匠牛顿一再声称自己是毕达哥拉斯的忠实信徒。因为毕氏学派以数字7为美，所以牛顿在做三棱镜的色散实验时，虽然开始只注意到5种颜色，他还是在没有任何实验证实情况下主观加上了橙和青两种颜色，为的是将颜色的总数凑足7种。[5]这是牛顿忠实于毕氏数学美观念，“以美启真”的又一个例证。对平行线公理数学美的苛求，是非欧几何创立的直接动因。我们知道，平行线公理的表述比起其它公理显得冗长难懂，数学家认为它不美。因此他们怀疑它不应成为公理而应是定理。但看似简单的一个证明却令“无数英雄竞折腰”。2000多年来，数学家前赴后继地努力但都无功而返。直到19世纪初叶经高斯、波约、罗巴切夫斯基、黎曼等人的努力，问题才得以完满解决，并由此创立了划时代的伟大数学分支——非欧几何。科学史上的事例一再向我们昭示：从追求数学形式美、结构美出发，却常常可以导出科学理论真的结果。随着科学数学化的加剧，数学美愈加成为科学探究中“以美启真”的方法论准则。
（二）以美审真
实践是检验真理的标准，这无疑是马克思主义的基本观点，也是大多数科学家的信条。但科学的数学化，已使得许多理论像现代数学那样朝着越来越抽象化的方向发展，其研究对象和结果在现实中往往找不到它的对应物，无法回到实践中去检验。故在科学认识系统中，把实践作为选择、评价、检验科学理论及其真理的唯一标准是不可能的，也是远远不够的。狄拉克认为，有时候数学形式美要比理论与实验相符合更重要，因为数学美与普遍的自然规律有关，而理论与实验的符合则常常与一些具体的细节有关。[6]例如在爱因斯坦的广义相对论中，大概没有比时空弯曲更能挑战公众的想象力了，但不管他的理论多么让人难以置信，爱因斯坦却认为肯定可以由日食时观测证实。有人问：“如果观测与您的理论不相符合，怎么办？”爱因斯坦回答：“那我为上帝感到遗憾。”其言外之意是，上帝怎能如此愚蠢，居然违背具有如此对称美的理论来设计宇宙？[7]爱因斯坦仅仅凭借数学对称美，就敢于大胆预测物理结果真。在这里我们看到了爱因斯坦“以美审真”的研究风格及数学美给予爱因斯坦的超强霸气。科学发展史表明，“以美审真”是科学家们共享的一条科学研究原则。
（三）以美悦心
匈牙利数学家雷尼说：“如果我感到忧伤，我会做数学变得快乐。如果我正快乐，我会做数学保持这种快乐。”[8]陈省身曾为少年儿童题词“数学好玩”。的确，许多数学家终身痴迷于数学，与其说是功利心的驱使，毋宁说是因为数学美对他们的深深吸引力。彭加勒曾指出，科学家研究自然，并不是囿于有用性的动因，而是为比较深奥的理性美引起的乐悦所驱使，科学家之所以投身于长期而艰巨的劳动，也许为此缘故甚于为人类未来的福利。[9]同时，许多数学理论往往要超越当前现实数百年，才能在其它学科或数学学科中派上用场。例如古希腊人公元前4世纪就开始研究椭圆的性质，他们不可能预感到2000年后会在开普勒的行星运行及牛顿的万有引力中起作用。埃列•嘉当1912年考虑了一个分析与几何变换群，当时除了它的非凡美感外，根本没有想到它会在15年以后，用来解释关于电子的若干现象。事实表明，纯粹是思维的乐趣与美的召唤，才是支撑众多数学家持之以恒钻研数学的最深层动因。另外，数学的严谨性与高度抽象性，日积月累在看不到成功前景的黑暗中摸索，朝夕面对缺乏生命原色的材料，长期繁重的脑力负担使得数学家常与正常生活产生疏离，这一切容易导致数学家精神生活的单调与贫乏，甚至造成心理痼疾。[10]而数学美则可以丰富他们的精神生活，缓解逻缉思维所致的情绪紧张，审美愉悦会使数学家产生一种类似游戏的体验，使其身心趋向于一种更悠闲的境界。故数学美对他们可起到“以美悦心”的作用。
（四）以美辅理
科学发展史上彻底突破旧观念的新思想，通常不是沿袭传统的逻辑模式，对经验材料进行概括、演绎与推理而得。彭加勒对此深有体会：“逻辑用于证明，直觉用于发明。”[11]例如，卢瑟福通过直觉想象力把原子世界看成巨大太空世界的摹制品，建立了原子的行星模型说；威尔逊受到大自然美景的触发，直觉地构建了威尔逊云室，这些理论的创立都得益于想象而非逻辑。再如非欧几何的创立，在漫长的2000年时光中，无数数学家试图用逻辑推理的方法去证明第五公设，结果都是徒劳。直到19世纪，一批思想敏锐的数学家意识到需要换一种思路。罗巴切夫斯基摆脱了逻辑思维的束缚，凭借自己的超凡想象力，构建了一种全新的几何体系——非欧几何，它的创立不仅是数学史上的一座丰碑，而且引起了人类时空观的一次重大变革。综上可见，直觉力、想象力等形象思维在科学发明发现中占有重要地位，而数学美恰恰能在促进人的形象思维方面发挥重大作用，逻辑则常常只是事后的补充完善。
三、数学美对数学教学的启示意义
在数学学习之旅中，学生若能时常有美的感受与体验，数学美在学生的学习中就同样可起到“以美启真”的作用，有效开发解题智慧；起到“以美审真”的作用，准确筛选出思维路径；起到“以美辅理”的作用，化抽象为直观形象；起到“以美悦心”的作用,消除学生的焦虑与疲乏，快乐有趣地学习数学。教学中教师要大力挖掘数学美，渗透数学美，培养学生初步感知数学美，鉴赏数学美的能力。为此，笔者认为数学教学需从如下几方面努力。
（一）教师要有一颗易感之心
教学中渗透数学美，首先要求教师有一颗易感之心。要能感受教材中无处不在的数学美，比如实数与数轴，复数与平面，平面上的点与有序实数对等，形与数的对称美，三角诱导公式推导中的对称美，奇偶函数图像与性质的对称美，大量数学符号与其深刻寓意体现出的简洁美，椭圆、双曲线、抛物线用第二定义及用极坐标公式表现出来的统一美等。其次要有文、史、哲等方面的初步修养，对教材内容除能用演绎方式阐述外，还能从文学与艺术的视角来帮助学生展开诗人般的想象，因为只有教师自己对数学的形式美、结构美、思维美深有感触，才能将这种感发的力量传递给学生。再比如，教师恰当地运用诗歌，可将数学的抽象语言化为鲜明生动的形象化语言，让学生的思维文理合流，培养其形象思维力。例如在得出正弦函数y=sinx的图象后，来一句感叹：这可真是“风乍起，吹皱一池春水”啊！讲完y=sinx的图象，引用杜甫的“天地一沙鸥”抒发其图象之美……通过数学与文学的交相辉映，数学课不再是枯燥乏味的演算与记忆，而将散发出诗歌形象美与数学内涵美的独特魅力，达到“以美悦心”的教学效果。再如，对一些司空见惯的教学内容，要能用数学美的眼光予以揭示。例如，推导椭圆的标准方程时，教师可以提出下列问题串。（1）不去根号是不是椭圆方程？（2）为什么要去根号？（3）为什么要把一个根号移到等号另一边？（4）为什么要令a2-c2=b2。这些问题，其实无它，都是源于简洁美与对称美的追求。再比如对已知条件的删繁就简，对例题解法的不断改进（追求思维与过程的简洁美），对形异质同题目的归纳与本质揭示（追求抽象与统一美）等。当教师习惯于对教材上的诸多细节向学生刨根问底，学生就能发现“以美启真”“以美审真”在数学研究中的普适有效，就会悟出先前诸多莫名其妙的规定，原来都是源于对数学美的追求。就会感叹原来数学并非深奥、神秘，而是讲推理更讲道理的。
（二）学生要有一只跳跃思维之胆
形象思维与创新思维关系密切，故不仅要培养学生的逻辑思维能力，也要让学生经历先猜后证的数学，类比的、归纳的数学。例如对于杨辉三角形的直观观察，可以推出许多组合恒等式。教师教学时可以多留出时间，让学生独立分析与思考，学生就会琢磨出先观察（a+b）n在n=2，3，4，5展开式的每一项特征，再归纳概括，猜想出若干恒等式，然后让学生先猜后证。再如，设xyz∈R+且试求xy+2yz+3zx的值[12]若按常规方法计算xy+2yz+3zx的值，繁琐单调。让学生观察三个式子充分发挥想象，由②式不难联想到勾股定理，由①，③联想到余弦定理，我们就可巧妙地构造ABC，其中一点P满足∠APC=120°，∠BPC=150°，∠APB=90°，且PC=x，PA=z，PB=，由条件易得AB=3，AC=4，教学探索BC=5，从而SABC=SAPB+SAPC+SBPC=（xy+2yz+3zx）=6，故xy+2yz+3yz=24心中没有对数学美的执念，本题便只能按部就班地陷入繁琐计算中,是“以美启真”与“以美审真”的观念诱发了我们的解题灵感，从而促使我们寻觅到这一漂亮解法。
（三）师生要共同拥有一个美学之念
一方面数学是一门科学，另一方面数学也是一门艺术。这门“高尚的艺术”表现为一种“至高无上”“冷而严肃”的美，是“潜藏在感性美之后的理性美”。它的花朵只开放在抽象思维领域，它的形式是由逻辑的彩带编织而成。数学给人的感觉是一种冰冷的美丽。要把数学冰冷的美丽化为师生火热的思考，教师需在长期的教学中，持之以恒、坚持不懈地挖掘强化数学美。通过追问、反思等行为，揭示数学美是一些技能行为背后的真正动因。同时学生在学习中，尤其在思维的岔路口要用“以美启真”“以美审真”支配自己的思维活动，养成在问题解决过程中用数学美的眼光作一番定夺取舍的习惯。日积月累下来，解题能力、思维水平的提升就会不求而至、不为而成。数学美在科学探究中的作用已充分说明了这一点。数学教育如果没有美育，只剩下技巧、分数，学生就只有题海之苦，没有探秘寻幽之乐，这样的学生就只能是做题的机器，永远不能成为大师。
参考文献：
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[9]芮国英.展示数学美培养探索欲提高创造力——数学美育教学的认识与实践[J].中学教研(数学),2004(1).
作者:王应标 单位:江苏省清江中学