一道共顶点等腰直角三角形题目的拓展与延伸
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ABC=∠CDE=90°，点F为线段AE的中点，连接DF、BF，判断线段DF、BF的关系并证明.
班里的一小部分学生轻松地做对，但大部分学生扣了分，原因是他们只判断了两条线段的数量关系DF=BF，没有判断DF、BF的位置关系，即未证明DFBF.做对的同学几乎运用的是直角三角形斜边中线等于斜边一半和等量代换知识.当把这道题在班内讲解完毕后，征求同学建议，还有何收获或质疑时，数学基础好的同学，开始七嘴八舌地展开了讨论，他们说如果让点D运动起来，其他条件不变，图形会发生变化，结论是不变的.这意外的惊喜和感触让笔者发自内心的感觉到：学生的能量真是无穷的，给他们一个支点，他们是会撬动地球的，下面开始探求之旅！
1点D在直线AC上可能的情况
1.如图2，点D在边AC上，E在射线CB上，结论DF=BF，DFBF成立.
解析利用直角三角形斜中线等于斜边一半，可得DF=12AE，BF=12AE，所以FD=FB=FA.由FD=FA，得∠1+∠2=∠4；由FB=FA，得∠1=∠3，∠DFE=2（∠1+∠2），∠BFE=2∠1，∠DFB=∠DFE-∠BFE=2（∠1+∠2-∠1）=2∠2=90°，即DFBF.
解析利用直角三角形斜边中线等于斜边一半可得DF=12AE，BF=12AE，FD=FB.由FD=FE得∠1=∠3；由FB=FE得∠2=∠4，所以∠DFB=∠5+∠6=2（∠2+∠1）=2∠DEC=90°，即DFBF.
3.如图4，点D在射线AC上，E在射线BC上，结论DF=BF，DFBF成立.
解析利用直角三角形斜边中线等于斜边一半，可得DF=12AE，BF=12AE，所以FD=FB.由FD=FE，得∠1+∠3=∠4；由FB=FE，得∠1=∠2，∠AFD=2（∠1+∠3），∠AFB=2∠1，∠DFB=∠AFD-∠
2.如图6，点D在射线CB上，结论DF=BF，DFBF成立.
解析尝试倍长线段（发现延长BF与ED交于M较好），易证ABF≌EMF，则AB=ME=CB，BF=FM，因DC=DE，则DB=DM，利用等腰直角三角形三线合一，可得DF=BF，DFBF.
图73.如图7，点D在射线BC上，结论DF=BF，DFBF成立.
解析延长DF与BA延长线交于点M，易证∠1=∠2，因∠5=∠4，FE=FA，所以DEF≌MAF，MA=DE=DC.
由BA=BC，则BD=BM，利用等腰直角三角形三线合一可得FD=FB，FDFB.
3点D直线AB上的可能情况
图81.如图8，点D在边AB上，结论DF=BF，DFBF成立.
解析延长DF到M，使FM=DF，连接AM，ME，BM，易证四边形ADEM为平行四边形，DE=AM，DE∥AM，因等腰直角三角形ABC和CDE，则DE=DC，AB=BC，∠ABC=∠CDE=90°，延长CD交AM于N，∠DNA=90°，所以CD=AM，∠DAN=∠DCB，CDB≌AMB，∠ABM=∠CBD=90°，BD=BM，在等腰直角三角形BDM中利用三线合一，得DF=BF，DFBF.
解析延长BF到M，使FM=BF，连接AM，ME，MD.易证AFB≌EFM，则ME=AB，ME∥AB.因等腰直角三角形ABC和CDE，则DE=DC，AB=BC，∠ABC=∠CDE=90°，延长EM交CB于点N，∠ENC=∠CDE=90°，有内角和为90°，可知∠NCO=∠OED，所以∠BCD=∠MED，CDB≌EMD，∠EMD=∠CBD=90°，MD=BD，在等腰直角三角形BDM中利用三线合一，得DF=BF，DFBF.
解析延长DF到N，使FN=DF，连接AN，NE，BN.
易证四边形ADEN为平行四边形，DE=AN，DE∥AN，∠BAN=∠ADE.因等腰直角三角形ABC和CDE，则DE=DC，则AN=CD，AB=BC，∠ABC=∠CDE=90°，∠EDA+∠ADC=90°，∠DCB+∠ADC=90°，所以∠ADE=∠DCB，所以∠DCB=∠BAN，CDB≌ABN，∠ABN=∠DBC=90°，BN=BD，在等腰直角三角形BDN中利用三线合一，得DF=BF，DFBF.
4点D不在CAB的边上可能情况
1.如图11，点D在AC右下侧
图11解析延长DF到N，使FN=DF，连接AN，BN.易证DFE≌AFN，DE=AN，DE∥AN，因等腰直角三角形ABC和CDE，则DE=DC，则AN=CD，AB=BC，∠ABC=∠CDE=90°.延长AN交CD于K，所以∠CKA=90°=∠ABC，利用三角形内角和，可得∠BAN=∠BCD，则CDB≌ABN，∠ABN=∠DBC，BN=BD.∠ABN+∠NBC=90°，∠CBD+∠NBC=90°，所以，在等腰直角三角形BDN中利用三线合一，得DF=BF，DFBF.
2.如图12，点D在AC左上侧
图12解析尝试倍长线段，延长DF到M使FM=DF，连接AM，易证EDF≌AMF，则∠EDF=∠FMA，AM=DE=CD，所以DE∥AM.延长DC，MA交于点Q，连接MB，DB，由∠EDC=90°，所以∠Q=90°.因∠AOQ=∠COB，则∠OAQ=∠OCB，所以∠MAB=∠BCD.因AB=CB，所以DCB≌MAB，∠MBA=∠DBC，DB=MB.由∠MBA+∠MBC=90°，
∠DBC+∠MBC=90°，即∠MBD=90°，利用等腰直角三角形三线合一，可得DF=BF，DFBF.
3.点D还可以有其他情况――学生讨论仍在进行中.
以上各种情况中辅助线的添加：用到的几乎是“倍长线段”的方法.对于“点D在AC左上侧”可以尝试其他方法，如构造三角形中位线、直角三角形斜边中线的方法.
如图13，倍长ED=DN，AB=BM，连接CN、CM、EM、AN.易得AC=CM，EC=CN，∠ACN=90°+∠NCM，∠ECM=90°+∠NCM，∠ACN=∠ECM，ACN≌ECM，AN=EM，利用三角形中位线可得DF=FB，有三角形内角和可得∠EON=∠ECN=90°，则DFBF.图13图14如图14，取EC中点N，取AC中点M，连接FM，MB，FN，ND，由中位线和直角三角形斜边中线易知FM=NC=DN，MB=MC=NF，四边形FMCN为平行四边形，∠FMC=∠FNC，∠FND=90°+∠FNC，∠FMB=90°+∠FMC，∠FMB=∠FND，FMB≌FND，FB=FD，∠FBM=∠NFD，NF∥MC，∠NFO+∠FOC=90°，∠BOM+∠FBM=90°，∠FOC+∠FBM=90°，∠FOC+∠NFD=90°，所以∠DFO=90°，DFBF.
点D的其他情r也可以通过构造三角形中位线、直角三角形斜边中线证得.
以上11种情况中，等腰直角三角形ABC和CDE，是以锐角点C为共顶点旋转而成的，还可以锐角顶点与直角顶点为共顶点，也可以直角顶点与直角顶点为共顶点，证明方法仍然类似的.
例1已知：如图15，等腰直角三角形ABC和BDE，∠ABC=∠DBE=90°，点F为线段CD的中点，连接AE，BF，判断BF与AE关系，并说明理由.
图15图16例2已知：如图16，等腰直角三角形ABC和CDE，∠ACB=∠EDC=90°，点M为线段BE的中点，连接AE，MD，判断AE与MD关系，并说明理由.
实际上共顶点等腰直角三角形问题，辅助线不止以上方法，还有其他方法，需要我们仔细探究，你一定会有意想不到的收获，那将是雨后的彩虹.
我们对一道几何题进行了系列探究，图形经过变化，但是方法基本不变，为什么变化中蕴含着不变的结论？因为表象的改变仅仅改变了图形的外观，并没有改变图形关系的本质结构，我们要学会透过现象看本质.从运动的角度，发现这些图形是具有内在联系和共性的规律，它们都是一类题，因而，要做一个有心人，学会反思和质疑，创造性的解决问题.