数形结合在不等式中的应用
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【摘要】“数形结合”这一贯彻在高中数学教学始终的解题思想方法，其本质是“数”与“形”之间的相互转换.在高中数学教学中，通过有效的“数形结合”思想方法的运用可以使学生在学习过程中绕过障碍.同时，有效的“数形结合”使代数问题得以用几何来诠释，体现出神奇的数学之美以及思维的灵活之美，在一定程度上使许多复杂问题简单化、明了化.
【关键字】数形结合；不等式
一、数形结合的理论基础
数学中的两个最基本也最古老的研究对象就是“数”与“形”，它们在一定条件下可以相互转化.恩格斯曾说过：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学.”我国著名数学家华罗庚也曾说过：“数形结合百般好，隔离分家万事非.”可见，“数”与“形”反映了事物两个方面的属性.本文主要从数形结合在证明不等式方面研究.
近年的高考强调不等式基础知识考查的同时，也很注重数学能力的考查和数学思想方法的应用，其中数形结合思想方法的应用不可忽视.
（一）利用数形结合证明不等式
例1求证：a2+b2+c2+d2≥（a-c）2+（b-d）2.（a与c，b与d不同时相等）
分析考察不等号两边特点，其形式类同平面上两点间距离公式.在平面直角坐标系中设A（a，b），B（c，d），O（0，0）.如图1，AB=（a-c）2+（b-d）2，
|AO|=a2+b2，|BO|=c2+d2.
当A，B，O三点不共线时，|AB|
当A，B，O三点共线，且A，B在O点同侧时，|AB|
例2求证：x2+1+x2-4x+8≥13.
分析考察式子特点，借助两点间距离公式，可化为x2+1+x2-4x+8=（x-0）2+（0-1）2+（x-2）2+（0-2）2.
令A（0，1），B（2，2），p（x，0），则问题转化为在x轴上求一点p，使|PA|+|PB|有最小值.如图2，由于AB在x轴同侧，故取A关于x轴的对称点C（0，-1），故（|PA|+|PB|）min=|CB|=（2-0）2+（2+1）2=13，所以原不等式成立.
例3sinx-1cosx-2≤43.
分析本题是分式，其结构类似斜率公式，因此可视此式为定点Q（2，1）与单位圆上的动点P（cosx，sinx）连线的斜率.如图3，当PQ与单位圆相切时，切线的斜率取值就是所求函数的最值.由0≤k≤43，得ymin=0，ymax=43.
例4已知a，b∈R+且x2+ax+2b=0，x2+2bx+a=0都有实根，证明：a+b≥6.
解依题意得
a2-8b≥0，b2-a≥0，
即a2≥8b，b2≥a.（*）
则满足（*）的点（a，b）在如图4所示的阴影区域内.
设z=a+b，则z=a+b所表示的直线系中，过点A（4，2）的直在b轴上的截距即为满足（*）的z的最小值.
所以（a+b）min=4+2=6，故a+b≥6.
（二）利用数形结合解不等式
例5已知x，y满足x2+y2-2y=0，欲使不等式x+y+c≥0恒成立，求实数c的取值范围.
分析欲使x+y+c≥0恒成立，
即-c≤x+y恒成立，
故-c≤（x+y）min.于是问题转化为求x2+y2-2y=0上有一点，使得x+y取得最小值，当直线l1平行于x+y=0且与圆x2+y2-2y=0相切于下方时（如图5），取得最小值1-2，故-c≤1-2，从而c≥2-1.
例6求使不等式log2（-x）
解设f（x）=log2（-x），g（x）=x+1.
因为函数f（x）=log2（-x）的图像与函数y=log2x图像关于y轴对称，g（x）=x+1的图像是一条过点（0，1）的直线，由图6可得-1
三、结论
本文主要讲述了数形结合在不等式中的应用.由于“形”的引入，使得数字变得形象生动，变得有生命力.在很大程度上简化了计算的过程和思维过程.然而数学思想方法教学并不是一个单一的过程，各种思想方法是相互联系，相互渗透，往往数学思想、方法交织在一起.在解题的过程中依据具体情况选择最恰当的方法，也许效果会更好.
【参考文献】
[1]任志鸿.十年高考分类解析与应试策略[M].海口：南方出版社，2003.
[2]蔡东兴.数形结合思想方法的应用[J].高中数学教与学，2009（02）.
[3]刘军刚.数形结合的应用浅析[J].新课程研究，2008（04）.