关于矩阵Schur补的若干矩阵不等式

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【摘要】本文的目的是利用矩阵Schur补的性质，建立若干关于正定矩阵Hadamard乘积，Kronecker乘积，Khatri-Rao乘积和普通加法的矩阵不等式，这些不等式包含或推广了相应的结果，其中schur补和分块矩阵作为主要的工具被使用。

【关键词】矩阵Schur补;矩阵特殊乘积;矩阵不等式

1.引言

1917年，美国数学家I.Schur提出了著名的Schur补[1]。从此，Schur补作为一种强有力的工具，它被广泛应用于矩阵理论、统计学、应用数学等领域;同时Schur补在导出矩阵不等式、行列式、迹、范数、特征值、奇异值的不等式和控制不等式的过程中也扮演着非常重要的角色[2]。国内外许多学者都致力于矩阵Schur补的研究工作，Haynsworth利用Schur补，得到了著名的Haynsworth不等式和Schur补的商公式;Wang和Zhang导出了正定矩阵关于Hadamard乘积和Schur补的若干矩阵不等式;Zhang也利用Schur补研究了半正定矩阵若干矩阵不等式和矩阵等式。另一方面，无论在理论研究中还是在应用研究中，矩阵理论都处于一个核心的位置。而关于矩阵特殊乘积的不等式一直也是矩阵理论研究中的一个重要研究方向，在矩阵理论、统计、经济、动力系统等领域的研究中，矩阵的Hadamard乘积、Kronecker乘积和Khatri-Rao乘积都扮演着一个重要的角色[3]。此外，分块矩阵作为一种非常有用的工具，在许多矩阵问题中都扮演着非常重要的作用，尤其是2×2的分块矩阵。在导出矩阵不等式的过程中，2×2的分块矩阵作为一种重要的工具，被国内外许多学者所应用[4]。基于矩阵Schur补和分块矩阵在矩阵理论研究中的重要作用，本文主要是利用矩阵Schur补的性质和分块矩阵的特性来导出若干的关于矩阵Hadamard乘积、Kronecker乘积、Khatri-Rao乘积和矩阵普通加法的矩阵不等式，本文的主要结果推广了关于Schur补和特殊乘积的矩阵不等式。在研究过程中，矩阵Schur补和分块矩阵作为本文的主要工具被使用。

2.预备知识

本文用Cn×m表示n×m阶复矩阵集;设A∈Cn×m，则A*表示矩阵A的共轭转置，当A为方阵且可逆时，A-1表示矩阵A的逆，A为正定矩阵时，用A-α表示;A>0（A-1）α表示Hermite正定矩阵。A>B表示A-B>0;In表示N阶单位矩阵。

定义1[3]：设Cm×n为复数域上m×n矩阵集合，现考虑A=（aij）∈Cm×n，B=（bkl）∈Cp×q，D=（dij）∈Cm×n。令Aij∈Cmi×nj，Bkl∈Cpk×ql分别为分块矩阵A，B的位于（i，j），（k，l）处的子矩阵，且。则可定义以下四种乘积：

（1）Kronecker积：;

（2）Hadamard积：;

（3）Khati-Rao积：，其中;

（4）Tracy-Rao积：。

定义2[2]：设为分块矩阵的主子阵，且为非奇异的，则称矩阵为在A中的Schur补，并记作，特别地当时。

引理1[3]：设A，B是正定矩阵，若A≥B，则，其中是特征值。

引理2[4]：设A∈Mn是Hermitian阵，则。

引理3[2]：设，若A>0，则有：

3.主要结论

定理1：设都是正定矩阵且有相同的分块，同时其主子阵均是非奇异的，则：

（1）

证明：构造分块矩阵，并且有如下的形式：

则：

对矩阵使用Schur补，可有：

证毕。

矩阵的Hadamard乘积和矩阵的普通加法在矩阵运算上有类似的性质，因此下面考虑将定理1的普通加法换成矩阵的Hadamard乘积。

推论1：设都是正定矩阵且如定理1有相同的分块，并且其主子阵均是非奇异的，则有：

（2）

定理2：设并且有相同的分块形式，而且其主子阵均是非奇异的，则有：

（3）

证明：由定理1和引理1，可以得到：

（4）

对式（4）左右两边求和，可得下列不等式：

再由引理2，可得：

进一步，可以导出下列不等式：

当k=n时，则有：

证毕。

定理3：设并有相同的分块形式，而且其主子阵均是非奇异的，对正整数s，t，r，则有：

（5）

其中，代表+和。

证明：令A，B，C有如下相同的分块形式：

进一步，可有：

使用矩阵Schur补，则可得到如下的矩阵不等式：

对于Hadamard乘积，也可利用矩阵Schur补的性质来导出类似的矩阵不等式：

证毕。

定理4：设矩阵A，B，C均为正定矩阵，并且都有相同的分块形式，同时其主子阵均是非奇异的，则有：

（6）

证明：令A，B，C有如下相同的分块形式：

显然：

使用矩阵Schur补可得如下的矩阵不等式（7）和（8）：

（7）

并且：

（8）

比较式（7）和（8），并由引理3即可得到式（6）成立。

证毕。

类似地，定理4的结果可以推广到有限个正定矩阵的情形，并由下面的推论来描述。

推论2：设矩阵均为正定矩阵，并且都有相同的分块形式，同时其主子阵均是非奇异的，则有：

（9）

定理5：设矩阵有相同的分块，且X，A，U都是非奇异的，则：

（10）

证明：注意到：

使用矩阵Schur补，可有如下结果：

证毕。

对于定理5，进一步，我们可以有如下感兴趣的结果：

推论3：条件同定理5，如果X=Z=U=W=I，则（LMN）/A=M/A;进一步还假设有V=0，即N=I，则（LM）/A=MA;如果有Y=0，即L=I，则（MN）。

参考文献

[1]王松桂，吴密霞，贾忠贞.矩阵不等式[M].科学出版社，2006.

[2]F.Zhang;The Schur Complement and its applications.Kluwer，Dorcht，2005.

[3]R.Horn and C.Johnson，Matrix analysis.Cambridge University Press，New York，1985.

[4]王伯英，控制不等式基础[M].北京师范大学出版社，1990.

项目资助：本文受到国家自然科学基金（项目编号：11161008）;高等学校博士学科点专项科研基金（项目编号：20100191110037））;贵州省科学技术基金资助项目（黔科合J字LKG【2013】46号）;重庆市科委自然科学基金计划资助项目（项目编号：cstc2012jjA40026）;重庆市教委科技项目（项目编号：KJ131117）资助。

作者简介：曾诚，男，重庆大学博士研究生，贵州理工学院理学院讲师，研究方向：矩阵理论，智能控制，非线性采样控制系统和自适应控制。