借助几何直观学好数学

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义务教育《数学课程标准》（2011年版）已于2011年12月28日颁布了，修订后的小学数学课程标准在理念、目标等方面都做了改进，在课程内容部分提出了十个数学课程与教学应当注重发展的核心概念，和原来的六个核心概念相比，几何直观是新增的几个核心概念之一。既然以往课标已经意识到几何直观的作用，那么新版《数学课程标准》为什么还要突出和强调几何直观？这个问题值得我们深思与探讨。

新版课标指出：“借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。”从课标的描述可以看出，几何直观应该成为学生学习数学的好拐杖，借助它可以帮助学生直观理解数学。几何直观的拐杖作用体现在以下几个方面。

一、 借助几何直观帮学生理解数学概念和规律

数学概念和规律的抽象性与小学生以具体形象思维为主的现实产生了矛盾，要想有效地解决这一矛盾，就必须在某些具体对象或内容与数学概念和规律之间架设一座桥梁，几何直观正是解决这一矛盾的手段。

例如：关于圆的认识的教学，有经验的教师会用慢节奏甚至是稍带夸张的动作来清楚地演示画圆的方法，先刻意让学生观察老师旋紧圆规的夹紧螺母，再将一脚固定在定好的圆心上，画一小段不连续的弧，提问：“这些点有什么相同之处？螺母旋紧，一脚固定是为了什么？这样的点还有吗？”当学生肯定在各个方向上还有许多这样的点以后，教师再画出完整的圆，并告诉学生，这样的曲线就叫圆。几何直观使得学生在较短时间内形成了正确的、清晰的关于圆的概念。

例如：乘法交换律的几何直观

这样的几何排列能帮助学生理解乘法交换律。

再比如用几何直观表示恒等式是非常有效的，恒等式（a+b）2=a2+2ab+b2的直观演示：

（a+b）2=a・a+a・b+a・b+b・b=a22ab+b2

这样的演示让学生很容易就记住了这个公式。

二、 借助几何直观帮学生激发问题意识

新版课标将原来总目标中的“解决问题”改成“问题解决”，更加重视学生的问题意识，而发现问题和提出问题是学生数学问题意识的具体体现。在教学过程中，教师借助几何直观可以帮助学生发现问题和提出问题。

例如：平行四边形的面积教学

教师出示教具：一个长方形框架，它的长是8厘米，宽是5厘米。提问：“它所围成的长方形面积是多少？你是怎样想的？”

教师演示：捏住这个长方形的一组对角，向外拉，提问：“同学们看看，长方形变成了什么图形？”

教师提问：“观察变化过程，你能发现什么？你能提出哪些问题？”

例如：郑毓信所著《数学思维与小学数学》中有这样一道题：试就下图所示的情景提出3个数学问题，要求一个较为容易，一个较难，另一个则难度适中。

我觉得绝大多数学生会很自然地提出这样一个问题：后面的图形应该是什么样子呢？要解决这个问题也很简单，就按照前面的规律画出后面的图形，前面三个图分别是边长为3个圈、4个圈、5个圈的正方形，后面的图形就应该是边长是6个圈的正方形了。

也可能提出这样的问题：如何计算第三个图形外面的空心圈个数？学生或许会提出不同的解决策略，如下图所示：

通过这种方式，学生发自内心的好奇心得到了极大的鼓励，顺便还能提出其他的一些问题：下一个图形外面的空心圈有多少个？外面空心圈的个数与正方形每边空心圈之间有怎样的关系？或者可以反过来思考，如果一共有76个空心圈，那么正方形的每个边上应有几个圈？这个问题还可以进一步引申，把正方形改成其他规则多边形，讨论有关周长和圈的问题。 通过引申题和提出不同的问题，学生既是解决问题的人又是提出问题的人。

如果学生能用几何直观去思考分析问题，遇到类似的问题能借助于类比、联想，那么就一定能激发学生的问题意识，从而提高他们发现问题和提出问题的能力。有兴趣的老师不妨用这些问题考考你的学生，看看他们发现问题和提出问题的能力怎样。

三、 借助几何直观帮学生寻找数学规律成立的原因

新课程指出“推理能力的发展该贯穿于整个数学学习过程中”，推理一般包括合情推理和演绎推理。虽然小学阶段对学生推理的要求不是很高，但教师可以借助几何直观要求他们用适合自己的方式，直观、清楚和正确地表达一些规律成立的原因。

例如：用20块方砖（边长为10cm正方形）拼摆出不同的长方形图形，要求必须用上所有的砖，数出并记录每一种长方形的面积和周长，然后找一找并描述你发现的规律，并说说这些规律为什么成立。

学生们得到上面的表格后发现了如下规律： “瘦长”的长方形周长最大，“胖”长方形的周长最小。理由：学生在移动这些方砖时，看到瘦长的长方形变胖后原来的一些边就藏到里面了，这样周长就变小了。

四、 借助几何直观帮学生培养观察能力和空间观念

新版课标指出：空间观念的培养除了根据物体特征抽象出几何图形，还要能根据几何图形想象出所描述的实际物体等。通过几何直观可以帮助学生培养观察能力和空间观念，这种作用在教材中观察物体这一内容上体现得淋漓尽致，在这里不多描述。其实，教师在平时的教学过程中就应该有意识地通过几何直观帮助学生培养观察能力和空间观念。

例如：可以根据骰子上点的排列形态而不是数数来决定点数。

还可以通过下列具体操作帮助学生形成空间推理概念：把一张正长方形的纸对折以后剪去右下角，再展开后是什么形状呢？如果剪去左上角呢？剪去右上角呢？

让学生来想象、预测和检验他们的操作结果，通过这些几何直观活动可以帮助学生形成空间概念和空间推理的概念。

五、 借助几何直观帮学生理解数学建模思想和方法

数学建模过程是运用数学手段分析解决实际问题的过程。几何直观因其鲜明的生动性能够激发我们的形象思维，所以可用来帮助学生从具体情境中抽象出数学问题，建立解决问题的模型。

例如鸡兔同笼问题：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足。问雉、兔各几何？

学生可以用最直观、最简单的画图法，即：先画35个圆圈，用它们来表示头，在一些圆圈下面画2条小竖线来表示鸡，在另一些圆圈下面画4条小竖线用来表示兔。首先要使数得的竖线刚好是94，然后数一下鸡的只数和兔的只数。当然学生画小竖线时可以采取这样的策略：第一种策略是先在35个圆圈下面全画2条小竖线（假设全是鸡），这样一共有70只脚，但实际是94只，所以还要画24只脚，这样在原来的基础上，有12只鸡要变成兔子，答案就出来了。第二种策略是先在35个圆圈下面全画4条小竖线（假设全是兔），这样一共有140只脚，但实际是94只，所以还要去掉46只脚，这样在原来的基础上，有23只兔子要变成鸡，答案也就出来了。

教师引导学生思考这样的问题：

（1）上面的画图法使解决“鸡兔同笼”问题简单了吗？

（2）你能根据上面的思路想出一个更简单的方法吗？

借助几何直观用假设法解决“鸡兔同笼”问题的模型很容易就建立起来了，它比教师直接讲授假设法要更加自然和易懂。

再例如：五个同学，每人都要和其他的人通一次电话，一共要通多少次电话？

学生可能先画5个点来表示五个同学，要表示两个人通话就在他们之间用一条线连接。一共要通多少次电话，就是求一共有多少条线。如何计算线的条数呢？

数学模型一：考虑第一个同学要与其余四个同学通话，就从第一个同学引4条线段连接其余四个同学。接下来考虑第二个同学，因为他已经与第一个同学通过话了，所以他只与剩下的三人通话，这样画3条线段。再考虑第三个学生，要画2条线段。第四个学生则画1条线段。到第五个学生已经不需要再画了，因为他已经与其他同学都通过话了。这样一共要通话的次数就是：4+3+2+1=10。即使题目中“五个同学”改成“十个同学”，学生也已经知道用“9+8+7+6+5+4+3+2+1”这种模式来解决问题了，并且理解为什么要这么算。

数学模型二：考虑第一个同学与所有四个同学通话一共有四条线段，考虑第二个同学与所有四个同学通话也四条线段，第三个同学、第四个同学、第五个同学与其余四个同学通话都是四条线段，所以一共有5×4条，但第一个同学与第二个同学通话一次，现在算了两次，所以要除以2，其余每两个同学的通话都算了两次，都要除以2，一共要通电话的总次数就是。如果题目中“五个同学”改成“十个同学”，那么学生就会用来计算，于是结果就出来了。

总之，教师要借助几何直观帮助学生直观理解数学，学生要借助几何直观把复杂问题简单化、形象化，让几何直观成为学生学习的好助手，让几何直观伴随学生一生的数学学习。