含可调参数的保单调有理样条插值
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摘要：为了使有理插值样条在计算机图形和CAD领域有更灵活的应用，构造了带有可调参数的的二次有理样条函数（2/2型），并给出了详细的构造方法。该函数可通过选取适当的形状参数使得曲线具有保形性。可以通过调整参数交互式的修改插值曲线的形状，以得到满意的曲线，并证明了此类插值函数的保单调性和给出了其误差分析。最后通过数据实例，说明了它较稳定和保单调的特点。
中图分类号：O241.5文献标志码：A[WT]文章编号：1672-1098（2014）02-0075-04
有理插值在逼近理论中有着重要的作用，Hermite插值是其中典型的方法。然而生成的曲线虽然具有较好的光滑性，但容易产生不必要的震荡，并且有时还会破坏原函数的单调性[1-2]。所以本文详细叙述构造一个分母分子均为二次的分段有理插值函数（即2/2型）的过程，它具有非常好的保单调性并得以验证，而且是含有可调参数的。因为通常的有理插值样条， 初始条件一旦确定， 曲线的形状也就随之固定了。带有可调参数的有理插值样条， 可以通过调整相应子区间上的可调参数， 从而对曲线进行局部的调整。用含参数分段有理函数进行插值可解决稳定性和保单调性问题。
1 有理插值函数的构造
2 插值函数的保单调性
1. 2/2型的分段有理插值曲线；
数据二下两种插值曲线的比较通过图1～图2可知，能明显看出来二次多项式插值曲线虽然有良好的光滑性，但是破坏了原数据单调的性质，并且图1中二次多项式插值曲线有明显的震荡，不稳定。而本文所构造的2/2型的分段有理插值曲线则同原数据有着一致的单调性，并且曲线变化稳定，因此通过数据实验更有力地说明了其稳定性和保单调性的特点。5
小结针对Hermite插值的不稳定性，构造了分母分子均为二次的分段有理插值函数（即2/2型），数值实验验证了此有理插值的保单调性，而且适当地调节可调参数，可以达到曲线的保形性。不过此插值却不能达到C1连续， 若为了解决此问题， 可以在Δi=0的区间上， 按照Hermite插值供述构造Si（x），但是后者所定义的S（x）却会失去了保单调性。所以，本文所构造的插值还有许多不足，需要继续改进。
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